Toán lớp 11: Dự án: Một vài mô hình sử dụng hàm số mũ và hàm số lôgarit

Mục tiêu bài học

• Chọn được mô hình mũ hoặc lôgarit phù hợp với dữ liệu giả lập.
• Ước lượng và diễn giải được tham số của mô hình.
• Kiểm tra được đơn vị, miền dùng và mức phù hợp của dự báo.
• Trình bày được giới hạn ngoại suy và các giả định.

Kiến thức cần nhớ

• Mô hình mũ y=A·bˣ phù hợp khi x tăng những khoảng bằng nhau thì y được nhân gần như cùng một hệ số. Với dữ liệu thực, tỉ số chỉ gần ổn định nên phải kiểm tra sai lệch thay vì ép mô hình đi qua mọi điểm.
• Tham số A là giá trị mô hình tại x=0; cơ số b là hệ số thay đổi khi x tăng một đơn vị. Nếu b>1 mô hình tăng, còn 0<b<1 mô hình giảm trên miền đang xét.
• Dạng y=Aeᵏˣ tương đương với y=A·bˣ khi b=eᵏ. Dấu của k thể hiện chiều tăng hoặc giảm nếu A>0, nhưng ý nghĩa thực tế vẫn phụ thuộc đơn vị của x.
• Mô hình lôgarit y=a+c·log_b(x/x₀) có miền x>0 và mô tả tình huống y tăng thêm gần như cùng một lượng khi x được nhân cùng một hệ số. Tỉ số x/x₀ giúp đối số lôgarit không mang đơn vị.
• Từ hai điểm dữ liệu dương có thể xác định một mô hình mũ đi qua cả hai, nhưng hai điểm không đủ chứng minh quá trình thực sự tuân theo quy luật mũ. Cần dùng các điểm khác để kiểm tra phần dư.
• Phần dư được tính bằng giá trị quan sát trừ giá trị dự báo. Dấu, độ lớn và quy luật của phần dư giúp phát hiện mô hình lệch có hệ thống.
• Miền dùng của mô hình phải ghi theo khoảng dữ liệu, ý nghĩa biến và các ràng buộc như x≥0, y>0. Dự báo xa ngoài khoảng quan sát là ngoại suy và có rủi ro lớn hơn nội suy.
• Các ví dụ trong bài dùng dữ liệu giả lập trung tính. Cảnh báo phạm vi: không thực hiện dự báo y tế thật bằng mô hình đơn giản khi thiếu nguồn dữ liệu, chuyên môn và đánh giá rủi ro. Cảnh báo phạm vi: không thực hiện dự báo tài chính thật bằng mô hình như vậy. Cảnh báo phạm vi: không thực hiện dự báo dân số thật khi thiếu chứng cứ.

Khởi động và dự đoán

• Một bảng có các giá trị 80, 120, 180 ở ba thời điểm cách đều; hiệu không cố định nhưng tỉ số đều bằng 1,5. Mô hình nào mô tả được quy luật này và trong khoảng nào ta có quyền dùng nó?

Thuật ngữ và kí hiệu

mô hình mũ mô hình lôgarit tham số ban đầu hệ số tăng trưởng tốc độ liên tục đối số không thứ nguyên giá trị dự báo phần dư nội suy ngoại suy miền dùng của mô hình

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
y=A·bˣ	A≠0; b>0 và b≠1; x thuộc miền được mô hình hóa	Mô hình mũ với giá trị tại x=0 là A và hệ số thay đổi mỗi đơn vị là b.
b=(y₂/y₁)^(1/(x₂−x₁))	y₁,y₂ cùng dấu và khác 0; x₂≠x₁; mô hình y=A·bˣ được giả định; cần chọn nghiệm b>0	Ước lượng cơ số từ hai điểm của một mô hình mũ.
x=log_b(y/A)=ln(y/A)/ln b	y/A>0; b>0 và b≠1	Giải thời điểm x khi mô hình mũ đạt giá trị y.
y=a+c·log_b(x/x₀)	x>0; x₀>0 và cùng đơn vị với x; b>0, b≠1	Mô hình lôgarit có đối số x/x₀ không mang đơn vị.
eᵢ=yᵢ−ŷᵢ	yᵢ và ŷᵢ ứng với cùng đầu vào, cùng đại lượng và đơn vị	Phần dư tại điểm dữ liệu thứ i; không phải cơ số e của hàm mũ.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra tiền đề: Hàm số mũ, lôgarit và phương trình. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.
• Tự kiểm tra tiền đề: Bảng tính và đồ thị. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ câu hỏi, nguồn dữ liệu, giả định, đơn vị và sản phẩm cần nộp.
• Tách quan sát, phép tính và kết luận; không khẳng định mạnh hơn bằng chứng.
• Kiểm một mốc độc lập và ghi giới hạn/sai số của mô hình.
• Tự đánh giá an toàn, quyền riêng tư và khả năng tái lập.

Trường hợp biên cần nhớ

• Khi b=1, y=A là hàm hằng chứ không phải mô hình mũ tăng hoặc giảm theo quy ước đang dùng; ln b=0 nên công thức giải x không áp dụng.
• Mô hình lôgarit không xác định tại x=0 hoặc x<0; việc đồ thị phần mềm vẫn hiển thị ở nơi khác không mở rộng miền xác định.
• Nếu A=0 thì y=0 với mọi x và không thể suy b từ tỉ số y₂/y₁.
• Một mô hình mũ có thể cho giá trị toán học ở x âm, nhưng biến “số ngày kể từ khi bắt đầu” có thể buộc x≥0.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Ba điểm đầu có tỉ số đúng 2 không bảo đảm điểm thứ tư cũng gấp đôi. Chẳng hạn 5, 10, 20, 21 có ba giá trị đầu khớp y=5·2ˣ nhưng điểm thứ tư sai khác rất lớn; phải dành dữ liệu để kiểm tra mô hình.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Dùng bảng tính với dữ liệu giả lập để chọn giữa quy luật mũ và lôgarit, ước lượng tham số, vẽ dữ liệu cùng đường mô hình, lập cột phần dư và công bố rõ khoảng dữ liệu được dùng cũng như giới hạn ngoại suy.

Minh họa trực quan

Đồ thị minh họa — Một vài mô hình sử dụng hàm số mũ và hàm số lôgarit

Dữ liệu giả lập tăng theo cùng hệ số 1,5 ở các khoảng x bằng nhau.

Bảng điểm dùng để dựng Đồ thị minh họa — Một vài mô hình sử dụng hàm số mũ và hàm số lôgarit

Dãy	x	y
y=80·1,5ˣ	0	80
y=80·1,5ˣ	0.2	86.757742
y=80·1,5ˣ	0.4	94.086322
y=80·1,5ˣ	0.6	102.03396
y=80·1,5ˣ	0.8	110.652949
y=80·1,5ˣ	1	120
y=80·1,5ˣ	1.2	130.136613
y=80·1,5ˣ	1.4	141.129483
y=80·1,5ˣ	1.6	153.05094
y=80·1,5ˣ	1.8	165.979424
y=80·1,5ˣ	2	180
y=80·1,5ˣ	2.2	195.204919
y=80·1,5ˣ	2.4	211.694224
y=80·1,5ˣ	2.6	229.57641
y=80·1,5ˣ	2.8	248.969136
y=80·1,5ˣ	3	270
y=80·1,5ˣ	3.2	292.807378
y=80·1,5ˣ	3.4	317.541336
y=80·1,5ˣ	3.6	344.364615
y=80·1,5ˣ	3.8	373.453704
y=80·1,5ˣ	4	405

y=80·1,5ˣ

Ví dụ giải từng bước

Nhiệm vụ mẫu 1

Tại các thời điểm t=0,1,2, một đại lượng giả lập lần lượt bằng 80, 120, 180 đơn vị. Lập mô hình mũ và dự báo tại t=4 nếu quy luật được giả định tiếp tục.

1. 1 Tính các tỉ số 120/80=1,5 và 180/120=1,5 nên chọn hệ số b=1,5.
2. 2 Tại t=0 có A=80, do đó mô hình là y=80·1,5ᵗ.
3. 3 Tính y(4)=80·1,5⁴=80·5,0625=405.
4. 4 Ghi dự báo chỉ có hiệu lực theo giả định tỉ số 1,5 tiếp tục trong miền được phép.

Đáp án: Mô hình y=80·1,5ᵗ cho dự báo y(4)=405 đơn vị.

Tự kiểm: Mô hình phải tái tạo y(1)=120 và y(2)=180; thay t=4 phải cho đúng 405.

Nhiệm vụ mẫu 2

Đại lượng Q(t)=200·1,25ᵗ. Tìm thời điểm thực t để Q gấp 5 lần giá trị ban đầu và tìm số kì nguyên nhỏ nhất để Q đạt ít nhất mức đó.

1. 1 Giá trị ban đầu Q(0)=200 nên mức gấp 5 là 1000.
2. 2 Giải 200·1,25ᵗ=1000, tương đương 1,25ᵗ=5.
3. 3 Lấy lôgarit: t=ln5/ln1,25≈7,2126.
4. 4 Vì hỏi số kì nguyên nhỏ nhất đạt ít nhất mức đó, lấy k=8 và kiểm Q(7)<1000≤Q(8).

Đáp án: Thời điểm thực xấp xỉ 7,213 kì; số kì nguyên nhỏ nhất là 8.

Tự kiểm: Phải kiểm được 1,25⁷≈4,768<5 và 1,25⁸≈5,960≥5; không làm tròn 7,213 xuống 7 cho câu hỏi “đạt ít nhất”.

Nhiệm vụ mẫu 3

Bảng giả lập có x=1,2,4,8 và y=12,15,18,21. Lập mô hình lôgarit cơ số 2 rồi dự báo tại x=16.

1. 1 Nhận thấy mỗi lần x nhân 2 thì y tăng 3, phù hợp dạng y=a+c·log₂x.
2. 2 Dùng x=1: log₂1=0 nên a=12; mức tăng cho c=3.
3. 3 Suy ra y=12+3log₂x với miền x>0.
4. 4 Tại x=16, log₂16=4 nên y=12+3×4=24.

Đáp án: Mô hình là y=12+3log₂x, và dự báo y(16)=24.

Tự kiểm: Thay x=2,4,8 phải lần lượt thu được 15,18,21; không được dùng mô hình tại x≤0.

Nhiệm vụ mẫu 4

Dùng ba điểm t=0,1,2 có giá trị 100, 150, 225 để lập mô hình mũ. Điểm kiểm tra độc lập tại t=3 quan sát được 330. Tính phần dư và sai lệch tương đối so với quan sát.

1. 1 Ba điểm lập mô hình có tỉ số 1,5 nên ŷ=100·1,5ᵗ.
2. 2 Tại t=3, mô hình dự báo ŷ(3)=100·1,5³=337,5.
3. 3 Phần dư theo quy ước quan sát trừ dự báo là e=330−337,5=−7,5.
4. 4 Sai lệch tương đối theo quan sát là |−7,5|/330×100%≈2,27%; báo riêng tiêu chí chấp nhận nếu dự án có đặt trước.

Đáp án: Điểm kiểm tra có phần dư −7,5 đơn vị và độ lệch tương đối khoảng 2,27%; kết quả này chưa cho phép ngoại suy không giới hạn.

Tự kiểm: Dấu phần dư phải âm vì dự báo 337,5 lớn hơn quan sát 330; 7,5/330×100% phải xấp xỉ 2,27%.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Nhìn thấy dãy tăng rồi mặc nhiên chọn mô hình mũ mà không kiểm tra tỉ số hoặc phần dư.
• Sai lầm cần tránh: Dùng hiệu gần cố định để lập mô hình mũ, hoặc dùng tỉ số gần cố định để lập mô hình tuyến tính.
• Sai lầm cần tránh: Viết log(x) khi x mang đơn vị mà không chuẩn hóa bằng một mốc cùng đơn vị trong phần diễn giải mô hình.
• Sai lầm cần tránh: Lấy lôgarit khi y/A≤0 hoặc dùng cơ số b=1.
• Sai lầm cần tránh: Nội suy và ngoại suy như nhau, rồi dự báo rất xa ngoài khoảng dữ liệu mà không cảnh báo.
• Sai lầm cần tránh: Dùng hai điểm để vừa khớp mô hình vừa tuyên bố mô hình đã được kiểm chứng.
• Sai lầm cần tránh: Làm tròn tham số quá sớm khiến dự báo và phần dư sai đáng kể.