Toán lớp 12: Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân

Mục tiêu bài học

• Thiết lập và tính được diện tích giới hạn bởi đồ thị và trục hoành, chia khoảng khi hàm đổi dấu.
• Thiết lập và tính được diện tích giữa hai đồ thị sau khi xác định đúng giao điểm và thứ tự trên/dưới.
• Thiết lập và tính được thể tích khối tròn xoay trong trường hợp đơn giản thuộc chương trình.
• Giải và diễn giải được bài toán diện tích/thể tích thực tiễn với đúng miền, đơn vị bình phương/lập phương.

Kiến thức cần nhớ

• Diện tích không âm; phải chia tại giao điểm hoặc điểm đổi dấu.
• Giữa hai đồ thị, xác định hàm trên và hàm dưới trên từng khoảng.
• Khối tròn xoay quanh Ox dùng bán kính là khoảng cách tới Ox và bình phương bán kính.
• Kết quả thực tiễn giữ đúng miền và đơn vị bình phương/lập phương.

Khởi động và dự đoán

• Khởi động: Tính diện tích giữa y=x và Ox trên [−1,2]. Hãy dự đoán kết quả, ghi điều kiện cần kiểm rồi mới xem lời giải.

Thuật ngữ và kí hiệu

S: diện tích, không âm V: thể tích, không âm R(x): bán kính tiết diện

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
S=∫_a^b |f(x)|dx	f liên tục trên [a,b] — a<b và x∈[a,b] — Nếu f đổi dấu phải chia khoảng hoặc giữ trị tuyệt đối đúng cách.	Diện tích giữa đồ thị và Ox.
S=∫_a^b [f_trên(x)−f_dưới(x)]dx	hai hàm liên tục; thứ tự trên/dưới cố định trên đoạn — [a,b] — Nếu thứ tự đổi tại giao điểm phải chia đoạn.	Diện tích giữa hai đồ thị.
V=π∫_a^b [R(x)]²dx	quay miền thích hợp quanh Ox; R(x)≥0 là bán kính tiết diện — [a,b] — Có lỗ cần mô hình và công thức khác; không tự bỏ bán kính trong.	Thể tích khối tròn xoay dạng đĩa.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Khi nào phải chia khoảng tích phân diện tích?
• Vì sao thể tích dùng đơn vị lập phương?

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của từng công thức.
• Mỗi biến đổi phải chỉ ra là tương đương hay chỉ là hệ quả; trường hợp hệ quả phải thử lại.
• Đối chiếu từng bước với định nghĩa, điều kiện công thức và kết luận của bài.
• Kiểm trường hợp biên và đối chiếu bằng một cách độc lập trước khi kết luận.

Trường hợp biên cần nhớ

• Nếu f đổi dấu phải chia khoảng hoặc giữ trị tuyệt đối đúng cách.
• Nếu thứ tự đổi tại giao điểm phải chia đoạn.
• Có lỗ cần mô hình và công thức khác; không tự bỏ bán kính trong.
• Ngoài phạm vi bài: diện tích có dấu âm.
• Ngoài phạm vi bài: bỏ giao điểm/đổi dấu.
• Ngoài phạm vi bài: phương pháp vỏ trụ như bắt buộc.
• Ngoài phạm vi bài: nhầm đơn vị diện tích/thể tích.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Trên [−1,1], ∫x dx=0 không có nghĩa miền hình học có diện tích 0.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Vận dụng kiến thức của bài “Ứng dụng hình học của tích phân” trong một tình huống có dữ kiện, đơn vị và bước kiểm kết quả rõ ràng.

Minh họa trực quan

Miền giữa y=2x và y=x²

Trên 0≤x≤2, đường 2x nằm trên x²; hai đồ thị gặp tại hai đầu mút.

Bảng điểm dùng để dựng Miền giữa y=2x và y=x²

Dãy	x	y
y=2x	0	0
y=2x	0.5	1
y=2x	1	2
y=2x	1.5	3
y=2x	2	4
y=x²	0	0
y=x²	0.5	0.25
y=x²	1	1
y=x²	1.5	2.25
y=x²	2	4

y=2x y=x²

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Tính diện tích giữa y=x và Ox trên [−1,2].

1. 1 Hàm đổi dấu tại 0.
2. 2 S=−∫_{−1}^0 xdx+∫_0^2 xdx.
3. 3 Tính 1/2+2.

Đáp án: S=5/2 đơn vị².

Tự kiểm: Kết quả dương; diện tích tam giác là 1/2 và 2.

Ví dụ 2

Tính diện tích giữa y=2x và y=x² trên [0,2].

1. 1 2x−x²=x(2−x)≥0 trên đoạn.
2. 2 Tích phân ∫_0^2(2x−x²)dx.
3. 3 Thế cận.

Đáp án: S=4/3 đơn vị².

Tự kiểm: Hai đồ thị gặp tại 0,2 và hiệu không âm giữa hai mốc.

Ví dụ 3

Quay miền dưới y=x, 0≤x≤1 quanh Ox. Tính thể tích.

1. 1 Bán kính tiết diện R=x.
2. 2 V=π∫_0^1x²dx.
3. 3 Tính bằng π/3.

Đáp án: V=π/3 đơn vị³.

Tự kiểm: Khớp thể tích nón bán kính 1, cao 1.

Ví dụ 4

Một tiết diện có chiều rộng f(x)=2−x mét trên 0≤x≤2. Tính diện tích mô hình.

1. 1 f(x)≥0 trên đoạn.
2. 2 S=∫_0^2(2−x)dx.
3. 3 Thế cận được 2.

Đáp án: Diện tích bằng 2 m².

Tự kiểm: Khớp tam giác đáy 2 m, cao 2 m.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Dùng tích phân có dấu làm diện tích.
• Sai lầm cần tránh: Không tìm giao điểm.
• Sai lầm cần tránh: Quên bình phương bán kính.
• Sai lầm cần tránh: Ghi sai đơn vị.