Toán lớp 10: Bài 1: Mệnh đề

Mục tiêu bài học

• Thiết lập và phát biểu được mệnh đề phủ định, mệnh đề đảo, mệnh đề tương đương.
• Sử dụng đúng lượng từ, điều kiện cần, điều kiện đủ và điều kiện cần và đủ.
• Xác định được tính đúng hoặc sai của mệnh đề đơn giản và nêu được chứng cứ.

Kiến thức cần nhớ

• Mệnh đề là câu khẳng định có thể xác định rõ là đúng hoặc sai, nhưng không đồng thời vừa đúng vừa sai.
• Phủ định của P, kí hiệu ¬P, đổi giá trị đúng–sai. Khi phủ định lượng từ phải đổi “mọi” thành “tồn tại” và ngược lại.
• Mệnh đề P⇒Q chỉ sai khi P đúng và Q sai. Q là điều kiện cần của P; P là điều kiện đủ của Q.
• Mệnh đề đảo là Q⇒P. Chỉ khi cả hai chiều đúng mới viết P⇔Q và nói P là điều kiện cần và đủ của Q.
• Muốn bác bỏ mệnh đề “mọi…”, chỉ cần một phản ví dụ thỏa giả thiết nhưng không thỏa kết luận.
• P⇒Q (P và Q đều là mệnh đề): Sai duy nhất trong trường hợp P đúng, Q sai.
• P⇔Q (Cả P⇒Q và Q⇒P đều đúng): P là điều kiện cần và đủ của Q.
• ¬(∀x∈D, P(x)) ⇔ ∃x∈D: ¬P(x) (D là miền xác định đã nêu): Phủ định mệnh đề chứa lượng từ “mọi”.

Khởi động và dự đoán

• “2 là số nguyên tố” có thể khẳng định đúng hoặc sai; “Hãy học bài!” thì không.

Thuật ngữ và kí hiệu

mệnh đề phủ định mệnh đề kéo theo mệnh đề đảo mệnh đề tương đương lượng từ phản ví dụ

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
P⇒Q	P và Q đều là mệnh đề	Sai duy nhất trong trường hợp P đúng, Q sai.
P⇔Q	Cả P⇒Q và Q⇒P đều đúng	P là điều kiện cần và đủ của Q.
¬(∀x∈D, P(x)) ⇔ ∃x∈D: ¬P(x)	D là miền xác định đã nêu	Phủ định mệnh đề chứa lượng từ “mọi”.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra: em còn nhớ Câu khẳng định và phản ví dụ đơn giản không? Hãy nêu một ví dụ.
• Tự kiểm tra: em còn nhớ Kiến thức số học và hình học THCS không? Hãy nêu một ví dụ.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì đánh dấu để thử nghiệm cuối.
• Viện dẫn đúng định nghĩa, tính chất hoặc định lí; không suy từ hình vẽ hay vài ví dụ.
• Kiểm trường hợp biên và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• Nếu giả thiết P sai thì P⇒Q vẫn đúng theo quy ước logic.
• Miền của lượng từ phải được ghi rõ; đổi miền có thể đổi giá trị đúng–sai.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Mệnh đề “Nếu n² chia hết cho 4 thì n chia hết cho 2” đúng, nhưng không thể minh họa bằng một trường hợp rồi coi là chứng minh.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Kiểm tra điều kiện cần và đủ trong tiêu chuẩn tuyển chọn hoặc trong một định lí toán học.

Minh họa trực quan

Minh họa trọng tâm — Bài 1

P	Q	P⇒Q
Đúng	Đúng	Đúng
Đúng	Sai	Sai
Sai	Đúng	Đúng
Sai	Sai	Đúng

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Xác định đúng–sai và giải thích: “Với mọi số thực x, x²−2x+2>0”.

1. 1 Hoàn thành bình phương: x²−2x+2=(x−1)²+1.
2. 2 Vì (x−1)²≥0 nên biểu thức luôn ít nhất bằng 1.
3. 3 Kết luận mệnh đề đúng.

Đáp án: Đúng.

Tự kiểm: x²−2x+2=(x−1)²+1>0 với mọi x thực.

Ví dụ 2

Phủ định mệnh đề “Mọi học sinh lớp 10 đều làm đúng ít nhất một câu” bằng lời.

1. 1 Xác định lượng từ ngoài là “mọi học sinh”.
2. 2 Phủ định tính chất “làm đúng ít nhất một câu”.
3. 3 Ghép lại với lượng từ tồn tại.

Đáp án: Tồn tại ít nhất một học sinh lớp 10 không làm đúng câu nào.

Tự kiểm: Đổi “mọi” thành “tồn tại” và phủ định “ít nhất một” thành “không câu nào”.

Ví dụ 3

Cho mệnh đề: “Một số nguyên chia hết cho 12 thì chia hết cho 4”. Nêu điều kiện đủ, điều kiện cần và xét mệnh đề đảo.

1. 1 Đặt P: chia hết cho 12, Q: chia hết cho 4.
2. 2 Từ P⇒Q suy ra P đủ cho Q và Q cần cho P.
3. 3 Xét Q⇒P bằng phản ví dụ n=8.

Đáp án: Chia hết cho 12 là điều kiện đủ; chia hết cho 4 là điều kiện cần; mệnh đề đảo sai.

Tự kiểm: Phản ví dụ cho mệnh đề đảo là 8: chia hết cho 4 nhưng không chia hết cho 12.

Lỗi sai thường gặp

• Đảo giả thiết và kết luận rồi mặc nhiên cho rằng mệnh đề đảo đúng.
• Phủ định “mọi x đều có P” thành “mọi x đều không có P”.
• Gọi một câu hỏi hoặc mệnh lệnh là mệnh đề.
• Tự kiểm bằng phản ví dụ: Mệnh đề “Nếu n² chia hết cho 4 thì n chia hết cho 2” đúng, nhưng không thể minh họa bằng một trường hợp rồi coi là chứng minh.

Bài luyện thêm

• Trong mệnh đề “Nếu một tứ giác là hình vuông thì nó là hình chữ nhật”, điều nào đúng?
• Mệnh đề đảo của “Nếu n chia hết cho 6 thì n chia hết cho 3” là gì?
• Số nào là phản ví dụ cho mệnh đề “Mọi số nguyên tố đều là số lẻ”?
• Mệnh đề nào là đúng với mọi số nguyên n?
• Xác định đúng–sai và giải thích: “Với mọi số thực x, x²−2x+2>0”.
• Phủ định mệnh đề “Mọi học sinh lớp 10 đều làm đúng ít nhất một câu” bằng lời.