Toán lớp 10: Bài 2: Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

Mục tiêu bài học

• Nhận biết được tập con, hai tập hợp bằng nhau, tập rỗng và dùng đúng kí hiệu.
• Thực hiện được hợp, giao, hiệu, phần bù và biểu diễn được bằng sơ đồ Ven.
• Biểu diễn đúng khoảng, đoạn và giải được bài toán thực tiễn về phép toán tập hợp.

Kiến thức cần nhớ

• Tập hợp được xác định bởi cách liệt kê hoặc nêu tính chất đặc trưng; thứ tự và số lần lặp phần tử không làm thay đổi tập hợp.
• A⊂B nghĩa là mọi phần tử của A đều thuộc B. Tập rỗng là tập con của mọi tập hợp.
• A∪B gồm phần tử thuộc ít nhất một trong hai tập; A∩B gồm phần tử đồng thời thuộc cả hai.
• Hiệu A\B giữ các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B. Phần bù của A chỉ có nghĩa khi đã chỉ rõ tập vũ trụ.
• Với khoảng trên trục số, ngoặc vuông nhận đầu mút, ngoặc tròn loại đầu mút; vô cực luôn đi với ngoặc tròn.
• A\B={x | x∈A và x∉B} (A, B là hai tập trong cùng ngữ cảnh): Hiệu của hai tập hợp.
• n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B) (A, B hữu hạn): Đếm phần tử mà không đếm trùng phần giao.
• CᵤA=U\A (A⊂U và U đã được xác định): Phần bù của A trong U.

Khởi động và dự đoán

• Các số vừa thuộc [−2;3] vừa lớn hơn 1 tạo thành khoảng nào?

Thuật ngữ và kí hiệu

phần tử tập con tập rỗng hợp giao hiệu phần bù khoảng đoạn

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
A\B={x | x∈A và x∉B}	A, B là hai tập trong cùng ngữ cảnh	Hiệu của hai tập hợp.
n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)	A, B hữu hạn	Đếm phần tử mà không đếm trùng phần giao.
CᵤA=U\A	A⊂U và U đã được xác định	Phần bù của A trong U.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra: em còn nhớ Các tập hợp số N, Z, Q, R không? Hãy nêu một ví dụ.
• Tự kiểm tra: em còn nhớ Bất đẳng thức một ẩn không? Hãy nêu một ví dụ.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì đánh dấu để thử nghiệm cuối.
• Viện dẫn đúng định nghĩa, tính chất hoặc định lí; không suy từ hình vẽ hay vài ví dụ.
• Kiểm trường hợp biên và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• A∩B có thể rỗng; A∪∅=A.
• Đầu mút của khoảng nghiệm phụ thuộc dấu <, ≤, >, ≥.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Với U=ℤ và A là tập số chẵn, phần bù của A là các số nguyên lẻ; nếu đổi U=ℝ thì mô tả đó không còn đúng.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Dùng sơ đồ Ven để tổng hợp học sinh tham gia hai câu lạc bộ và tránh đếm trùng.

Minh họa trực quan

Minh họa trọng tâm — Bài 2

Các phần tử trong vòng thuộc tập hợp A∩B; phần tử ngoài vòng không thuộc tập hợp đó.

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Cho A=(−3;2], B=[0;5). Tìm A∪B, A∩B và A\B.

1. 1 Biểu diễn hai khoảng trên trục số.
2. 2 Lấy vùng thuộc ít nhất một, đồng thời thuộc cả hai, rồi thuộc A không thuộc B.
3. 3 Kiểm tra riêng các đầu mút −3,0,2,5.

Đáp án: A∪B=(−3;5), A∩B=[0;2], A\B=(−3;0).

Tự kiểm: Đặt hai tập trên cùng trục số rồi xét vùng được phủ.

Ví dụ 2

Trong U=ℝ, tìm phần bù của A=(−∞;−1]∪(3;+∞).

1. 1 Lấy ℝ loại tia thứ nhất và tia thứ hai.
2. 2 Kiểm tra −1 đã thuộc A nên bị loại; 3 chưa thuộc A nên được nhận.
3. 3 Viết kết quả (−1;3].

Đáp án: (−1;3]

Tự kiểm: Các số không thuộc A phải lớn hơn −1 và không vượt quá 3.

Ví dụ 3

Một lớp có 42 học sinh; 25 bạn thích Đại số, 22 bạn thích Hình học và 4 bạn không thích phần nào. Hỏi có bao nhiêu bạn thích cả hai?

1. 1 Tính số bạn thuộc hợp: 42−4=38.
2. 2 Dùng n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B).
3. 3 Suy ra n(A∩B)=25+22−38=9.

Đáp án: 9 học sinh.

Tự kiểm: Có 38 bạn thích ít nhất một phần; giao bằng 25+22−38=9.

Lỗi sai thường gặp

• Nhầm kí hiệu x∈A với {x}⊂A.
• Viết [1;+∞] hoặc dùng ngoặc vuông tại vô cực.
• Tính phần bù nhưng không chỉ rõ tập vũ trụ.
• Tự kiểm bằng phản ví dụ: Với U=ℤ và A là tập số chẵn, phần bù của A là các số nguyên lẻ; nếu đổi U=ℝ thì mô tả đó không còn đúng.

Bài luyện thêm

• Cho A={1,2,3,4}, B={3,4,5}. A\B bằng gì?
• Trong U=[0;10], phần bù của A=[2;7) là gì?
• Lớp có 20 bạn học Anh, 15 bạn học Nhật, 6 bạn học cả hai. Có bao nhiêu bạn học ít nhất một ngoại ngữ?
• Kí hiệu nào luôn sai trong cách viết khoảng?
• Cho A=(−3;2], B=[0;5). Tìm A∪B, A∩B và A\B.
• Trong U=ℝ, tìm phần bù của A=(−∞;−1]∪(3;+∞).