Toán lớp 10: Bài 27: Thực hành tính xác suất theo định nghĩa cổ điển

Mục tiêu bài học

• Tính được xác suất bằng phương pháp tổ hợp khi các kết quả đồng khả năng.
• Tính được xác suất của thí nghiệm lặp đơn giản bằng sơ đồ cây.
• Vận dụng được tính chất cơ bản và biến cố đối để giải bài toán.

Kiến thức cần nhớ

• Trong mô hình hữu hạn có các kết quả đồng khả năng, xác suất cổ điển là tỉ số số kết quả thuận lợi trên tổng số kết quả.
• Trước khi đếm phải xác định Ω và A, đồng thời biện minh các kết quả sơ cấp là đồng khả năng.
• Xác suất luôn nằm từ 0 đến 1; biến cố chắc chắn có xác suất 1, biến cố không thể có xác suất 0.
• Biến cố đối cho P(Ā)=1−P(A), thường giúp tính “ít nhất một” bằng cách trừ trường hợp “không có”.
• Quy tắc đếm, tổ hợp, bảng hoặc cây được dùng để đếm n(Ω), n(A), nhưng không thay thế kiểm tra đồng khả năng.
• P(A)=n(A)/n(Ω) (Ω hữu hạn, các kết quả sơ cấp đồng khả năng và n(Ω)>0): Định nghĩa xác suất cổ điển.
• P(Ā)=1−P(A) (A là biến cố): Xác suất biến cố đối.
• 0≤P(A)≤1 (A là biến cố): Miền giá trị xác suất.

Khởi động và dự đoán

• Vì sao không được dùng “số thuận lợi chia tổng số” nếu các kết quả không đồng khả năng?

Thuật ngữ và kí hiệu

xác suất cổ điển kết quả đồng khả năng kết quả thuận lợi biến cố đối

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
P(A)=n(A)/n(Ω)	Ω hữu hạn, các kết quả sơ cấp đồng khả năng và n(Ω)>0	Định nghĩa xác suất cổ điển.
P(Ā)=1−P(A)	A là biến cố	Xác suất biến cố đối.
0≤P(A)≤1	A là biến cố	Miền giá trị xác suất.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra: em còn nhớ Định nghĩa cổ điển của xác suất không? Hãy nêu một ví dụ.
• Tự kiểm tra: em còn nhớ Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp không? Hãy nêu một ví dụ.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì đánh dấu để thử nghiệm cuối.
• Viện dẫn đúng định nghĩa, tính chất hoặc định lí; không suy từ hình vẽ hay vài ví dụ.
• Kiểm trường hợp biên và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• P(A)=0 trong mô hình hữu hạn đồng khả năng nghĩa là A rỗng; P(A)=1 nghĩa là A=Ω.
• Biến cố đối thường đơn giản hơn biến cố gốc nhưng phải dùng cùng không gian mẫu.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Một túi có các thẻ không được chọn đồng đều do cơ chế máy thì không thể coi các thẻ đồng khả năng chỉ vì số nhãn khác nhau.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Đánh giá trò chơi công bằng, cơ hội trúng hoặc rủi ro đơn giản bằng mô hình đồng khả năng.

Minh họa trực quan

Minh họa trọng tâm — Bài 27

Thuận lợi

3

Không thuận lợi

5

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Gieo hai xúc xắc cân đối. Tính xác suất tổng bằng 8.

1. 1 Không gian mẫu có 36 cặp đồng khả năng.
2. 2 Liệt kê 5 cặp tổng 8.
3. 3 Tính 5/36.

Đáp án: 5/36.

Tự kiểm: Các cặp thuận lợi: (2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2).

Ví dụ 2

Chọn ngẫu nhiên 2 bạn từ 5 nữ và 3 nam. Tính xác suất chọn cả hai là nữ.

1. 1 Mỗi nhóm hai bạn là đồng khả năng.
2. 2 Đếm tổng 28 và thuận lợi 10.
3. 3 Rút gọn 10/28=5/14.

Đáp án: 5/14.

Tự kiểm: Số nhóm thuận lợi C₅²=10; tổng C₈²=28.

Ví dụ 3

Gieo ba xúc xắc cân đối. Tính xác suất có ít nhất một mặt 6.

1. 1 Dùng biến cố đối “không xúc xắc nào ra 6”.
2. 2 Đếm hoặc nhân xác suất để được 125/216.
3. 3 Lấy 1−125/216=91/216.

Đáp án: 91/216.

Tự kiểm: Biến cố đối không có mặt 6 có xác suất (5/6)³=125/216.

Lỗi sai thường gặp

• Áp dụng công thức cổ điển cho vòng quay có các ô diện tích khác nhau.
• Đếm tổ hợp ở tử nhưng chỉnh hợp ở mẫu.
• Tính “ít nhất một” mà bỏ sót nhiều trường hợp.
• Tự kiểm bằng phản ví dụ: Một túi có các thẻ không được chọn đồng đều do cơ chế máy thì không thể coi các thẻ đồng khả năng chỉ vì số nhãn khác nhau.

Bài luyện thêm

• Gieo hai xúc xắc cân đối. Xác suất tổng bằng 2 là gì?
• Rút một thẻ từ các thẻ 1 đến 10 đồng khả năng. Xác suất rút số nguyên tố là gì?
• Tung hai đồng xu cân đối. Xác suất có ít nhất một mặt ngửa là gì?
• Vòng quay có hai vùng diện tích khác nhau. Có thể coi hai màu đồng khả năng chỉ vì có hai màu không?
• Gieo hai xúc xắc cân đối. Tính xác suất tổng bằng 8.
• Chọn ngẫu nhiên 2 bạn từ 5 nữ và 3 nam. Tính xác suất chọn cả hai là nữ.