Toán lớp 11: Bài 1: Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Mục tiêu bài học

• Đổi được số đo góc giữa độ và radian, biểu diễn được góc lượng giác cùng tia đầu và tia cuối.
• Vận dụng được hệ thức Chasles cho số đo góc lượng giác trong trường hợp phù hợp.
• Xác định được điểm biểu diễn và các giá trị lượng giác trên đường tròn lượng giác.
• Dùng đúng quan hệ giữa các góc đặc biệt và điều kiện xác định của tang, côtang.

Kiến thức cần nhớ

• Góc lượng giác có tia đầu, tia cuối và chiều quay. Quy ước chiều ngược kim đồng hồ là dương, chiều cùng kim đồng hồ là âm; số đo có thể lớn hơn 360° hoặc âm.
• Radian là số đo tự nhiên gắn với đường tròn: góc ở tâm chắn cung dài đúng bằng bán kính có số đo 1 rad. Một vòng tròn có số đo 2π rad, tương ứng 360°.
• Nếu góc ở tâm quét một góc lượng giác α rad trên đường tròn bán kính R thì độ dài quãng cung được quét là l=R|α|; khi α≥0 có thể viết l=Rα. Nếu chỉ hỏi cung hình học giữa hai điểm, phải chọn đúng cung đang xét và số đo không âm tương ứng, thường trong [0;2π]. Công thức bắt buộc dùng radian, không thế trực tiếp số đo theo độ.
• Các góc cùng tia đầu và tia cuối sai khác nhau một số nguyên lần 2π rad. Vì thế giá trị lượng giác phụ thuộc vào vị trí tia cuối chứ không phụ thuộc số vòng quay trọn vẹn.
• Trên đường tròn lượng giác, điểm biểu diễn góc α có tọa độ (cos α; sin α). Tang là tỉ số sin α/cos α khi cos α khác 0; cotang là cos α/sin α khi sin α khác 0.
• Dấu của sin, cos, tan và cot phụ thuộc góc phần tư. Cần xác định góc phần tư trước rồi mới kết hợp góc tham chiếu để tìm giá trị, tránh suy dấu theo trí nhớ rời rạc.
• Các hệ thức lượng giác cơ bản cho phép đổi giữa các giá trị của cùng một góc, nhưng dấu của căn phải được chọn từ góc phần tư hoặc dữ kiện bổ sung.
• Bảng góc đặc biệt cần được hiểu từ tọa độ trên đường tròn: với α lần lượt bằng 0, π/6, π/4, π/3, π/2 thì sin α là 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1; cos α là 1, √3/2, √2/2, 1/2, 0; tan α là 0, √3/3, 1, √3, không xác định; cot α là không xác định, √3, 1, √3/3, 0.
• Hệ thức Chasles cho góc lượng giác: sđ(Ou,Ow)=sđ(Ou,Ov)+sđ(Ov,Ow)+k·2π với k∈ℤ. Khi chọn số đo đại diện trong một khoảng, phải cộng hoặc trừ đủ vòng để đưa kết quả về đúng khoảng.
• Các góc đối, bù, phụ và hơn kém π liên hệ theo vị trí trên đường tròn: góc đối đổi dấu sin và giữ cos; góc bù giữ sin và đổi dấu cos; góc phụ hoán đổi sin với cos. Tang, cot chỉ dùng khi hai vế đều xác định.

Khởi động và dự đoán

• Một bánh xe quay ngược chiều kim đồng hồ một vòng rưỡi. Góc quay ấy bằng bao nhiêu độ và bao nhiêu radian?

Thuật ngữ và kí hiệu

góc lượng giác độ radian đường tròn lượng giác góc cùng phương góc tham chiếu sin cos tan cot

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
a° = aπ/180 rad	a là số đo góc theo độ	Đổi số đo từ độ sang radian.
α rad = 180α/π°	α là số đo góc theo radian	Đổi số đo từ radian sang độ.
l=R|α|	R>0; α là góc lượng giác quét theo radian; với một cung hình học, chọn số đo không âm của đúng cung đang xét, thường 0≤α≤2π	Tính độ dài quãng cung được quét; khi α≥0 có thể viết l=Rα.
α + k·2π, k ∈ ℤ	Các góc có cùng tia đầu và tia cuối	Biểu diễn toàn bộ góc cùng phương với α.
sin²α + cos²α = 1	Mọi góc lượng giác α	Hệ thức cơ bản giữa sin và cos.
tan α = sin α/cos α	cos α ≠ 0	Định nghĩa tang qua sin và cos.
cot α = cos α/sin α	sin α ≠ 0	Định nghĩa cotang qua sin và cos.
1+tan²α=1/cos²α	cos α≠0	Hệ thức cơ bản suy từ sin²α+cos²α=1.
1+cot²α=1/sin²α	sin α≠0	Hệ thức cơ bản theo cotang.
tan α·cot α=1	sin α·cos α≠0	Quan hệ nghịch đảo giữa tang và cotang.
α: 0, π/6, π/4, π/3, π/2; sin α: 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1; cos α: 1, √3/2, √2/2, 1/2, 0; tan α: 0, √3/3, 1, √3, KXĐ; cot α: KXĐ, √3, 1, √3/3, 0	Các góc đặc biệt trong góc phần tư I; KXĐ nghĩa là không xác định do mẫu bằng 0	Bảng đầy đủ bốn giá trị lượng giác đặc biệt nền tảng.
sđ(Ou,Ow)=sđ(Ou,Ov)+sđ(Ov,Ow)+k·2π	Ba tia Ou,Ov,Ow chung gốc; k∈ℤ	Hệ thức Chasles cho số đo góc lượng giác.
sin(−α)=−sin α; cos(−α)=cos α; tan(−α)=−tan α; cot(−α)=−cot α	Mọi α; riêng tan/cot chỉ khi hai vế xác định	Quan hệ của hai góc đối nhau.
sin(π−α)=sin α; cos(π−α)=−cos α; tan(π−α)=−tan α; cot(π−α)=−cot α	Mọi α; riêng tan/cot chỉ khi hai vế xác định	Quan hệ của hai góc bù nhau.
sin(π/2−α)=cos α; cos(π/2−α)=sin α; tan(π/2−α)=cot α; cot(π/2−α)=tan α	Mọi α; riêng tan/cot khi hai vế xác định	Quan hệ của hai góc phụ nhau.
sin(α±π)=−sin α; cos(α±π)=−cos α; tan(α±π)=tan α; cot(α±π)=cot α	Mọi α; riêng tan/cot khi hai vế xác định	Quan hệ của hai góc hơn hoặc kém nhau π.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra tiền đề: Tỉ số lượng giác của góc từ 0° đến 180°. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.
• Tự kiểm tra tiền đề: Đường tròn lượng giác trực quan và hệ trục tọa độ. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì phải thử lại.
• Với hình không gian, viện dẫn quan hệ liên thuộc và đủ giả thiết của định lí; không suy từ hình vẽ.
• Kiểm trường hợp biên, đơn vị và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• Tại α = π/2 + kπ, cos α = 0 nên tan α không xác định dù sin α vẫn xác định.
• Tại α = kπ, sin α = 0 nên cot α không xác định; riêng sin và cos vẫn có giá trị.
• Hai góc sai khác π có sin và cos đối nhau nhưng tan bằng nhau khi đều xác định.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Biết sin α = 3/5 không đủ để kết luận cos α = 4/5: nếu α thuộc góc phần tư II thì cos α = −4/5.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Đổi số vòng quay của bánh xe, cánh quạt hoặc kim đồng hồ thành góc; từ đó xác định vị trí và độ cao tương đối của một điểm trên vành.

Minh họa trực quan

Đường tròn lượng giác — Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Đối chiếu góc, điểm biểu diễn, hoành độ cos và tung độ sin.

Điểm M(α) có hoành độ cos α và tung độ sin α.

0°

30°

45°

60°

90°

180°

270°

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Đổi góc −150° sang radian và nêu một góc dương cùng phương.

1. 1 Nhân −150 với π/180.
2. 2 Rút gọn được −5π/6.
3. 3 Cộng một vòng 2π để được 7π/6.

Đáp án: −150° = −5π/6 rad; một góc dương cùng phương là 7π/6.

Tự kiểm: 7π/6 − (−5π/6) = 2π nên hai góc có cùng tia cuối.

Ví dụ 2

Điểm M biểu diễn góc α trên đường tròn lượng giác có tọa độ (−1/2; √3/2). Tìm sin α, cos α và một số đo α trong [0; 2π).

1. 1 Đọc hoành độ M là cos α = −1/2.
2. 2 Đọc tung độ M là sin α = √3/2.
3. 3 M thuộc góc phần tư II, có góc tham chiếu π/3 nên α = 2π/3.

Đáp án: sin α = √3/2, cos α = −1/2, α = 2π/3.

Tự kiểm: sin²α + cos²α = 3/4 + 1/4 = 1 và 2π/3 thuộc khoảng yêu cầu.

Ví dụ 3

Cho cos α = −12/13 và α thuộc góc phần tư III. Tính sin α và tan α.

1. 1 Dùng sin²α = 1−cos²α = 1−144/169 = 25/169.
2. 2 Ở góc phần tư III, sin âm nên sin α = −5/13.
3. 3 Tính tan α = sin α/cos α = 5/12.

Đáp án: sin α = −5/13 và tan α = 5/12.

Tự kiểm: Hai giá trị sin, cos đều âm ở góc phần tư III; bình phương có tổng bằng 1.

Ví dụ 4

Rút gọn A = sin²α + sin²α·tan²α, biết cos α ≠ 0.

1. 1 Đặt sin²α làm nhân tử: A = sin²α(1+tan²α).
2. 2 Dùng 1+tan²α = 1/cos²α.
3. 3 Suy ra A = sin²α/cos²α = tan²α.

Đáp án: A = tan²α.

Tự kiểm: Điều kiện cos α ≠ 0 bảo đảm tan α và phép chia cho cos²α đều có nghĩa.

Ví dụ 5

Cho sđ(Ou,Ov)=5π/6 và sđ(Ov,Ow)=−π/3. Tìm số đo đại diện của (Ou,Ow) trong [0;2π).

1. 1 Áp dụng Chasles: sđ(Ou,Ow)=5π/6−π/3+k·2π.
2. 2 Rút gọn 5π/6−2π/6=π/2.
3. 3 Giá trị π/2 đã thuộc [0;2π), nên chọn k=0.

Đáp án: Số đo đại diện của (Ou,Ow) là π/2.

Tự kiểm: π/2−5π/6=−π/3, khớp số đo đã cho của (Ov,Ow) theo môđun 2π.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Đổi độ sang radian nhưng nhân với 180/π thay vì π/180.
• Sai lầm cần tránh: Cho rằng góc âm không có giá trị lượng giác.
• Sai lầm cần tránh: Lấy cos α = √(1−sin²α) mà không xét dấu theo góc phần tư.
• Sai lầm cần tránh: Tính tan α tại α = π/2 + kπ hoặc cot α tại α = kπ.
• Sai lầm cần tránh: Nhầm tọa độ điểm trên đường tròn thành (sin α; cos α).