Toán lớp 11: Bài 2: Công thức lượng giác

Mục tiêu bài học

• Vận dụng đúng công thức cộng và công thức hiệu của sin, cos, tang.
• Suy ra và sử dụng được công thức nhân đôi trong tính toán và biến đổi.
• Vận dụng được công thức biến đổi tích thành tổng và tổng thành tích.
• Chứng minh được đồng nhất thức đơn giản với đầy đủ điều kiện của biểu thức.

Kiến thức cần nhớ

• Công thức cộng biểu diễn giá trị lượng giác của tổng hoặc hiệu hai góc qua giá trị của từng góc. Dấu trong công thức sin và cos phải được giữ đúng theo cặp tổng–hiệu.
• Công thức nhân đôi là trường hợp đặc biệt của công thức cộng khi hai góc bằng nhau. Riêng cos 2α có ba dạng tương đương, nên chọn dạng phù hợp dữ kiện đã biết.
• Công thức biến đổi tích thành tổng hữu ích khi gặp tích các hàm lượng giác có góc khác nhau; công thức tổng thành tích hữu ích khi giải thích dao động tổng hợp hoặc rút gọn tổng hai giá trị.
• Công thức của tan tổng hoặc hiệu chỉ dùng khi các tang thành phần và tang của góc kết quả đều xác định. Việc mẫu số bằng 0 báo hiệu biểu thức phân thức không được phép dùng.
• Biến đổi lượng giác phải bảo toàn miền xác định. Không được chia hai vế cho sin α hoặc cos α nếu chưa tách trường hợp chúng bằng 0.
• Khi kiểm tra kết quả, có thể thay góc đặc biệt, kiểm tra tính chẵn lẻ hoặc ước lượng dấu và độ lớn trong [−1;1] đối với sin, cos.
• Bộ công thức tích–tổng gồm ba dạng cho sin–cos, cos–cos và sin–sin; bộ tổng–tích gồm tổng/hiệu của hai sin và hai cos. Không nên chỉ học một công thức đại diện vì dấu ở từng dạng khác nhau.
• Công thức hạ bậc sin²α=(1−cos2α)/2 và cos²α=(1+cos2α)/2 là hệ quả trực tiếp của công thức nhân đôi; đây là phạm vi hạ bậc cơ bản của bài.

Khởi động và dự đoán

• Không cần máy tính, ta có thể tìm chính xác sin 15° từ những góc đặc biệt nào?

Thuật ngữ và kí hiệu

công thức cộng công thức nhân đôi biến đổi tích thành tổng biến đổi tổng thành tích miền xác định

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
sin(α±β) = sin α cos β ± cos α sin β	α, β là các góc thực	Tính sin của tổng hoặc hiệu hai góc.
cos(α±β) = cos α cos β ∓ sin α sin β	α, β là các góc thực	Tính cos của tổng hoặc hiệu hai góc.
tan(α±β) = (tan α±tan β)/(1∓tan α tan β)	cos α·cos β·cos(α±β) ≠ 0	Tính tang của tổng hoặc hiệu.
sin 2α = 2sin α cos α	Mọi α thực	Công thức nhân đôi của sin.
cos 2α = cos²α−sin²α = 2cos²α−1 = 1−2sin²α	Mọi α thực	Ba dạng nhân đôi của cos.
tan 2α=2tan α/(1−tan²α)	cos α·cos 2α≠0	Công thức nhân đôi của tang tại những điểm hai vế đều xác định.
2sin α cos β = sin(α+β)+sin(α−β)	Mọi α, β thực	Biến đổi một tích thành tổng.
sin α+sin β = 2sin((α+β)/2)cos((α−β)/2)	Mọi α, β thực	Biến đổi tổng hai sin thành tích.
2cos α cos β=cos(α+β)+cos(α−β)	Mọi α,β thực	Biến đổi tích hai cos thành tổng.
2sin α sin β=cos(α−β)−cos(α+β)	Mọi α,β thực	Biến đổi tích hai sin thành tổng.
sin α−sin β=2cos((α+β)/2)sin((α−β)/2)	Mọi α,β thực	Biến đổi hiệu hai sin thành tích.
cos α+cos β=2cos((α+β)/2)cos((α−β)/2)	Mọi α,β thực	Biến đổi tổng hai cos thành tích.
cos α−cos β=−2sin((α+β)/2)sin((α−β)/2)	Mọi α,β thực	Biến đổi hiệu hai cos thành tích.
sin²α=(1−cos2α)/2; cos²α=(1+cos2α)/2	Mọi α thực	Hai công thức hạ bậc cơ bản.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra tiền đề: Giá trị lượng giác của góc lượng giác. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.
• Tự kiểm tra tiền đề: Phân tích nhân tử và biến đổi phân thức. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì phải thử lại.
• Với hình không gian, viện dẫn quan hệ liên thuộc và đủ giả thiết của định lí; không suy từ hình vẽ.
• Kiểm trường hợp biên, đơn vị và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• Nếu α = β thì công thức sin(α−β) phải cho 0; đây là phép thử dấu nhanh.
• Khi 1−tan α tan β = 0, tan(α+β) không xác định dù sin và cos của α+β vẫn xác định.
• Các công thức sin và cos tổng vẫn đúng tại những góc mà tan không xác định.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Đẳng thức tan(α+β) = tan α + tan β sai nói chung; với α = β = π/6, vế trái là √3 còn vế phải là 2√3/3.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Tổng hợp hai dao động cùng tần số, tính góc lệch trong đo đạc và tìm giá trị chính xác của các góc không nằm trực tiếp trong bảng đặc biệt.

Minh họa trực quan

Đường tròn lượng giác — Công thức lượng giác

Theo dõi 75°=15°+60° trên cùng một đường tròn.

Điểm M(α) có hoành độ cos α và tung độ sin α.

0°

15°

45°

60°

75°

90°

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Tính chính xác sin 15°.

1. 1 Viết 15° = 45°−30°.
2. 2 Dùng sin(45°−30°) = sin45°cos30°−cos45°sin30°.
3. 3 Thay giá trị đặc biệt và rút gọn.

Đáp án: sin 15° = (√6−√2)/4.

Tự kiểm: Giá trị dương và nhỏ hơn sin30° = 1/2, phù hợp vì 15° thuộc góc phần tư I.

Ví dụ 2

Cho sin α = 3/5, cos α = 4/5. Tính cos 2α.

1. 1 Chọn công thức cos 2α = cos²α−sin²α.
2. 2 Thay số: 16/25−9/25.
3. 3 Rút gọn được 7/25.

Đáp án: cos 2α = 7/25.

Tự kiểm: Dùng dạng 1−2sin²α cũng cho 1−18/25 = 7/25.

Ví dụ 3

Biến đổi tích 2sin 5x cos 3x thành tổng.

1. 1 Đối chiếu dạng 2sin α cos β.
2. 2 Đặt α = 5x, β = 3x.
3. 3 Tính α+β = 8x và α−β = 2x.

Đáp án: 2sin 5x cos 3x = sin 8x + sin 2x.

Tự kiểm: Cho x = 0 thì cả hai vế đều bằng 0.

Ví dụ 4

Rút gọn B = (sin 7x + sin 3x)/(cos 7x + cos 3x), biết mẫu khác 0.

1. 1 Đổi tử: sin7x+sin3x = 2sin5x cos2x.
2. 2 Đổi mẫu: cos7x+cos3x = 2cos5x cos2x.
3. 3 Do mẫu khác 0 nên khử 2cos2x, nhận B = tan5x.

Đáp án: B = tan 5x trên miền xác định của biểu thức ban đầu.

Tự kiểm: Điều kiện mẫu khác 0 kéo theo cos5x·cos2x ≠ 0, nên bước khử và tan5x đều hợp lệ.

Ví dụ 5

Biết tan α=1/2 và cos α·cos 2α≠0. Tính tan 2α.

1. 1 Dùng công thức tan 2α=2tan α/(1−tan²α).
2. 2 Thay tan α=1/2 được tử bằng 1 và mẫu bằng 1−1/4=3/4.
3. 3 Chia 1 cho 3/4 để được 4/3.

Đáp án: tan 2α=4/3.

Tự kiểm: Mẫu 3/4 khác 0; điều kiện đề bài bảo đảm cả tan α và tan 2α đều xác định.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Viết cos(α−β) = cos α cos β − sin α sin β.
• Sai lầm cần tránh: Quên điều kiện mẫu khác 0 trong công thức tan tổng.
• Sai lầm cần tránh: Dùng sin 2α = 2sin α hoặc cos 2α = 2cos α.
• Sai lầm cần tránh: Từ cos²α = cos²β suy ra ngay α = β.
• Sai lầm cần tránh: Chia biểu thức cho sin α hay cos α và làm mất trường hợp bằng 0.