Toán lớp 11: Dự án: Một vài áp dụng của Toán học trong tài chính

Mục tiêu bài học

Lập được bảng dòng tiền hoặc kịch bản lãi suất từ dữ liệu giả lập.
Vận dụng được cấp số hoặc hàm mũ để so sánh kịch bản.
Nêu được giả định, giới hạn và rủi ro của mô hình.
Trình bày được kết quả mà không đưa khuyến nghị đầu tư.

Kiến thức cần nhớ

Dòng tiền là khoản thu hoặc chi gắn với một thời điểm. Trước khi tính phải quy ước dấu, đơn vị tiền và độ dài mỗi kì; không được cộng trực tiếp các khoản ở những thời điểm khác nhau nếu mô hình có lãi suất.
Lãi đơn tính tiền lãi mỗi kì trên vốn ban đầu nên số dư tạo thành một cấp số cộng. Lãi kép nhập lãi vào vốn sau mỗi kì nên số dư tạo thành một cấp số nhân.
Trong mô hình lãi kép, lãi suất r phải là lãi suất hiệu dụng của đúng một kì ghép lãi. Nếu thời gian tính theo tháng thì r cũng phải là lãi suất theo tháng và n là số tháng.
Khoản nộp đều vào cuối mỗi kì tạo thành tổng của một cấp số nhân. Thời điểm nộp đầu kì hay cuối kì làm thay đổi số lần mỗi khoản được sinh lãi và phải được ghi rõ trong giả định.
So sánh kịch bản tài chính cần giữ cùng vốn đầu, thời hạn, lịch dòng tiền, cách ghép lãi và các khoản phí giả lập. Một chênh lệch số học không tự động cho biết phương án nào phù hợp với một người cụ thể.
Mô hình chỉ mô tả điều sẽ xảy ra nếu giả định được giữ nguyên. Thuế, phí, lạm phát, thay đổi lãi suất và rủi ro thanh khoản phải được nêu là giới hạn nếu chưa được đưa vào dữ liệu.
Kết quả cần được kiểm tra bằng bảng dòng tiền theo từng kì, làm tròn ở bước cuối và trình bày như một phân tích kịch bản. Cảnh báo phạm vi: không cam kết lợi nhuận từ kết quả lớp học. Cảnh báo phạm vi: không khuyến nghị mua bán từ kết quả lớp học.

Khởi động và dự đoán

Hai kịch bản cùng bắt đầu với 10 triệu đồng: một kịch bản tăng 1% mỗi tháng, kịch bản kia mỗi tháng cộng đúng 100 nghìn đồng. Sau nhiều tháng, vì sao hai bảng số không còn giống nhau?

Thuật ngữ và kí hiệu

dòng tiền vốn ban đầu lãi đơn lãi kép lãi suất hiệu dụng theo kì giá trị tương lai giá trị hiện tại khoản nộp đều cuối kì phân tích kịch bản giới hạn mô hình

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
Sₙ=P(1+nr)	P≥0; n là số kì; r là lãi suất đơn của mỗi kì và tiền lãi luôn tính trên P	Giá trị sau n kì trong mô hình lãi đơn không có dòng tiền trung gian.
Aₙ=P(1+r)ⁿ	P≥0; r>−1 là lãi suất hiệu dụng của đúng một kì; n là số nguyên không âm; không có nộp/rút trung gian	Giá trị tương lai của một khoản vốn theo mô hình lãi kép.
P=Aₙ/(1+r)ⁿ	1+r>0; r và n cùng đơn vị kì với mô hình; Aₙ là giá trị tại cuối kì n	Giá trị hiện tại tương đương của một khoản tiền tương lai trong mô hình đã chọn.
Fₙ=C[(1+r)ⁿ−1]/r	C được nộp vào cuối mỗi kì; r≠0; có đúng n khoản nộp; lãi suất r không đổi theo kì	Giá trị tại cuối kì n của chuỗi khoản nộp đều, trong đó khoản cuối chưa sinh lãi.
Fₙ=nC	C được nộp đều và r=0	Trường hợp biên của chuỗi khoản nộp đều khi không có lãi.

Tự kiểm tra kiến thức nền

Tự kiểm tra tiền đề: Cấp số nhân, hàm mũ và phần trăm. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.
Tự kiểm tra tiền đề: Bảng tính cơ bản. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.

Khung lập luận và chứng minh

Ghi rõ câu hỏi, nguồn dữ liệu, giả định, đơn vị và sản phẩm cần nộp.
Tách quan sát, phép tính và kết luận; không khẳng định mạnh hơn bằng chứng.
Kiểm một mốc độc lập và ghi giới hạn/sai số của mô hình.
Tự đánh giá an toàn, quyền riêng tư và khả năng tái lập.

Trường hợp biên cần nhớ

Khi r=0, biểu thức [(1+r)ⁿ−1]/r không xác định; phải dùng trực tiếp Fₙ=nC hoặc xét giới hạn, không được chia cho 0.
Nếu n=0 thì A₀=P; chưa có kì sinh lãi và chuỗi nộp đều chưa có khoản nộp nào.
Nếu có nộp hoặc rút tiền giữa chừng, công thức P(1+r)ⁿ cho một khoản duy nhất không còn mô tả đầy đủ; cần lập bảng dòng tiền.
Lãi suất thay đổi theo kì đòi hỏi tích các thừa số (1+r₁)(1+r₂)… thay vì dùng một r cố định không được giải thích.

Phản ví dụ chống học máy móc

Hai kịch bản cùng ghi “lãi suất 6%” chưa chắc tương đương: 6% hiệu dụng năm cho hệ số 1,06 sau một năm, còn 0,5% mỗi tháng ghép lãi cho hệ số 1,005¹²≈1,06168. Vì vậy tên lãi suất mà thiếu kì và quy ước ghép lãi không đủ để so sánh.

Ứng dụng và mô hình thực tế

Lập bảng tính cho một quỹ mục tiêu giả lập, thay đổi có kiểm soát vốn đầu, khoản nộp, thời hạn và lãi suất; báo cáo độ nhạy của kết quả cùng các giả định, không sử dụng dữ liệu thị trường hiện hành và không đưa lời khuyên mua bán.

Minh họa trực quan

Đồ thị minh họa — Một vài áp dụng của Toán học trong tài chính

Đây là kịch bản giả lập lãi kép. Cảnh báo phạm vi: không cam kết lợi nhuận từ mô hình này.

Bảng điểm dùng để dựng Đồ thị minh họa — Một vài áp dụng của Toán học trong tài chính
Dãy	x	y
100·1,1ⁿ	0	100
100·1,1ⁿ	1	110
100·1,1ⁿ	2	121
100·1,1ⁿ	3	133.1
100·1,1ⁿ	4	146.41

100·1,1ⁿ

Ví dụ giải từng bước

Nhiệm vụ mẫu 1

Một khoản vốn giả lập P=20 000 000 đồng tăng theo lãi kép 0,5% mỗi tháng trong 12 tháng, không nộp hoặc rút thêm. Tính giá trị cuối kì, làm tròn đến nghìn đồng.

1 Đổi 0,5% thành r=0,005 và xác nhận n=12 đều cùng đơn vị tháng.
2 Áp dụng A₁₂=20 000 000(1+0,005)¹².
3 Tính được A₁₂≈21 233 556,24 đồng và chỉ làm tròn ở bước cuối.
4 Ghi kết quả theo mô hình giả lập, chưa tính phí, thuế hoặc thay đổi lãi suất.

Đáp án: Giá trị cuối kì xấp xỉ 21 234 000 đồng.

Tự kiểm: Thay kết quả chưa làm tròn vào A₁₂/P phải thu được 1,005¹²≈1,0616778; đơn vị cuối cùng là đồng.

Nhiệm vụ mẫu 2

Cuối mỗi tháng, một học sinh đưa C=2 000 000 đồng vào quỹ giả lập; quỹ tăng 1% mỗi tháng. Sau đúng 6 khoản nộp, giá trị quỹ ở cuối tháng thứ 6 là bao nhiêu?

1 Vì nộp cuối tháng, khoản thứ nhất sinh lãi 5 lần, còn khoản thứ sáu chưa sinh lãi.
2 Viết tổng F₆=2 000 000(1,01⁵+1,01⁴+⋯+1,01+1).
3 Dùng tổng cấp số nhân: F₆=2 000 000(1,01⁶−1)/0,01.
4 Tính được F₆≈12 304 030,12 đồng.

Đáp án: Giá trị cuối tháng thứ 6 xấp xỉ 12 304 030 đồng.

Tự kiểm: Kết quả phải lớn hơn tổng tiền nộp 12 000 000 đồng nhưng nhỏ hơn 12 000 000×1,01⁶; bảng sáu dòng tiền phải cho cùng kết quả.

Nhiệm vụ mẫu 3

Với P=10 000 000 đồng, r=8% mỗi năm và thời hạn 3 năm, so sánh mô hình lãi đơn với mô hình lãi kép khi các giả định khác giữ nguyên.

1 Lãi đơn: S₃=10 000 000(1+3×0,08)=12 400 000 đồng.
2 Lãi kép: A₃=10 000 000×1,08³=12 597 120 đồng.
3 Tính chênh lệch A₃−S₃=197 120 đồng.
4 Diễn giải chênh lệch do mô hình lãi kép tiếp tục tính lãi trên phần lãi đã nhập vốn, không suy thành khuyến nghị.

Đáp án: Sau 3 năm, mô hình lãi kép cho 12 597 120 đồng, cao hơn mô hình lãi đơn 197 120 đồng.

Tự kiểm: Hai phép tính phải dùng cùng P, r và n; hiệu 12 597 120−12 400 000 phải bằng 197 120 đồng.

Nhiệm vụ mẫu 4

Phân tích độ nhạy của khoản P=20 000 000 đồng trong 12 tháng khi lãi suất giả lập lần lượt là 0,5% và 0,4% mỗi tháng, đều ghép lãi hằng tháng.

1 Kịch bản A: A=20 000 000×1,005¹²≈21 233 556,24 đồng.
2 Kịch bản B: B=20 000 000×1,004¹²≈20 981 404,15 đồng.
3 Tính độ chênh A−B≈252 152,09 đồng.
4 Nêu phạm vi kết luận: đây là độ nhạy theo hai lãi suất cố định giả lập, chưa phản ánh phí, rủi ro hay lạm phát.

Đáp án: Sau 12 tháng, hai kịch bản chênh nhau khoảng 252 152 đồng; không từ đó kết luận một sản phẩm thực tế tốt hơn.

Tự kiểm: Tính lại bằng bảng 12 kì phải khớp hai lũy thừa; cả hai giá trị phải lớn hơn 20 000 000 đồng vì hai r đều dương.

Lỗi sai thường gặp

Sai lầm cần tránh: Đưa 6% một năm trực tiếp vào công thức theo tháng mà không đổi hoặc không biết quy ước của lãi suất.
Sai lầm cần tránh: Dùng công thức khoản nộp cuối kì cho khoản nộp đầu kì, làm thiếu một lần nhân với 1+r.
Sai lầm cần tránh: Cộng phần trăm qua nhiều kì như lãi đơn trong khi đề bài nói lãi được nhập vốn.
Sai lầm cần tránh: Làm tròn số dư ở từng tháng rồi để sai số tích lũy thay vì giữ đủ độ chính xác đến bước cuối.
Sai lầm cần tránh: So sánh hai kịch bản khác thời hạn, khác dòng tiền hoặc khác phí rồi quy toàn bộ chênh lệch cho lãi suất.
Sai lầm cần tránh: Không cam kết lợi nhuận từ kết quả giả lập; không khuyến nghị đầu tư cho người học.

Cấp 1

Cấp 2

Cấp 3