Toán lớp 11: Bài 33: Đạo hàm cấp hai

Mục tiêu bài học

• Nhận biết được đạo hàm cấp hai là đạo hàm của đạo hàm cấp một.
• Tính được đạo hàm cấp hai của các hàm phù hợp bằng quy tắc đã học.
• Diễn giải được đạo hàm cấp hai trong bài toán gia tốc hoặc tốc độ thay đổi.
• Kiểm tra được đơn vị và kết luận của mô hình chuyển động đơn giản.

Kiến thức cần nhớ

• Nếu f′ có đạo hàm tại x thì đạo hàm của f′ được gọi là đạo hàm cấp hai, kí hiệu f″(x). Đây là phép lấy đạo hàm liên tiếp, không phải bình phương f′.
• Khi tính f″, phải áp dụng lại đầy đủ quy tắc tích, thương và hàm hợp cho biểu thức f′; các điều kiện miền vẫn phải được giữ.
• Giá trị f″(x₀) được tính bằng cách tìm hàm f″ rồi thay x₀, hoặc lấy đạo hàm của f′ tại x₀ khi các điều kiện tồn tại được thỏa.
• Với chuyển động s=s(t), vận tốc là v=s′ và gia tốc tức thời là a=v′=s″.
• Nếu s đo bằng mét và t đo bằng giây, vận tốc có đơn vị m/s và gia tốc có đơn vị m/s².
• Trong phạm vi bài này, dấu gia tốc mô tả chiều biến đổi vận tốc theo trục chọn; không tự suy ra vật nhanh dần nếu chưa so dấu với vận tốc.

Khởi động và dự đoán

• Nếu vận tốc là tốc độ thay đổi của vị trí, thì gia tốc là tốc độ thay đổi tức thời của vận tốc.

Thuật ngữ và kí hiệu

đạo hàm cấp hai đạo hàm liên tiếp vận tốc gia tốc tức thời phương trình chuyển động đơn vị gia tốc

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
f″(x)=(f′(x))′	f′ tồn tại trong lân cận và có đạo hàm tại x	Định nghĩa đạo hàm cấp hai.
v(t)=s′(t)	s(t) là tọa độ khả vi theo thời gian	Vận tốc tức thời.
a(t)=v′(t)=s″(t)	s có đạo hàm cấp hai tại t	Gia tốc tức thời.
[s]=m ⇒ [v]=m/s, [a]=m/s²	t đo bằng giây	Quan hệ đơn vị trong chuyển động.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra tiền đề: Các quy tắc tính đạo hàm. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.
• Tự kiểm tra tiền đề: Vận tốc và tốc độ thay đổi tức thời. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì phải thử lại.
• Với hình không gian, viện dẫn quan hệ liên thuộc và đủ giả thiết của định lí; không suy từ hình vẽ.
• Kiểm trường hợp biên, đơn vị và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• Hàm bậc nhất có f″=0 trên toàn miền; điều đó không có nghĩa f′=0.
• Gia tốc bằng 0 cho biết vận tốc không đổi trên khoảng đang xét, nhưng vận tốc đó có thể khác 0.
• Một hàm có đạo hàm cấp một nhưng chưa chắc có đạo hàm cấp hai tại mọi điểm.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Với f(x)=x², f′(x)=2x nên f″(x)=2; công thức sai (f′)² sẽ cho 4x² và bị bác bỏ ngay tại x=0.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Đạo hàm cấp hai dùng trực tiếp để tính gia tốc của chuyển động và mức thay đổi của vận tốc theo thời gian.

Minh họa trực quan

Đồ thị minh họa — Đạo hàm cấp hai

Đây là ba hàm đại số trừu tượng trên cùng hệ trục: f′ là đạo hàm của f và f″ là đạo hàm của f′; không đồng nhất chúng với các đại lượng vật lý khác đơn vị.

Bảng điểm dùng để dựng Đồ thị minh họa — Đạo hàm cấp hai

Dãy	x	y
f(t)=t³	0	0
f(t)=t³	0.1	0.001
f(t)=t³	0.2	0.008
f(t)=t³	0.3	0.027
f(t)=t³	0.4	0.064
f(t)=t³	0.5	0.125
f(t)=t³	0.6	0.216
f(t)=t³	0.7	0.343
f(t)=t³	0.8	0.512
f(t)=t³	0.9	0.729
f(t)=t³	1	1
f(t)=t³	1.1	1.331
f(t)=t³	1.2	1.728
f(t)=t³	1.3	2.197
f(t)=t³	1.4	2.744
f(t)=t³	1.5	3.375
f(t)=t³	1.6	4.096
f(t)=t³	1.7	4.913
f(t)=t³	1.8	5.832
f(t)=t³	1.9	6.859
f(t)=t³	2	8
f′(t)=3t²	0	0
f′(t)=3t²	0.1	0.03
f′(t)=3t²	0.2	0.12
f′(t)=3t²	0.3	0.27
f′(t)=3t²	0.4	0.48
f′(t)=3t²	0.5	0.75
f′(t)=3t²	0.6	1.08
f′(t)=3t²	0.7	1.47
f′(t)=3t²	0.8	1.92
f′(t)=3t²	0.9	2.43
f′(t)=3t²	1	3
f′(t)=3t²	1.1	3.63
f′(t)=3t²	1.2	4.32
f′(t)=3t²	1.3	5.07
f′(t)=3t²	1.4	5.88
f′(t)=3t²	1.5	6.75
f′(t)=3t²	1.6	7.68
f′(t)=3t²	1.7	8.67
f′(t)=3t²	1.8	9.72
f′(t)=3t²	1.9	10.83
f′(t)=3t²	2	12
f″(t)=6t	0	0
f″(t)=6t	0.1	0.6
f″(t)=6t	0.2	1.2
f″(t)=6t	0.3	1.8
f″(t)=6t	0.4	2.4
f″(t)=6t	0.5	3
f″(t)=6t	0.6	3.6
f″(t)=6t	0.7	4.2
f″(t)=6t	0.8	4.8
f″(t)=6t	0.9	5.4
f″(t)=6t	1	6
f″(t)=6t	1.1	6.6
f″(t)=6t	1.2	7.2
f″(t)=6t	1.3	7.8
f″(t)=6t	1.4	8.4
f″(t)=6t	1.5	9
f″(t)=6t	1.6	9.6
f″(t)=6t	1.7	10.2
f″(t)=6t	1.8	10.8
f″(t)=6t	1.9	11.4
f″(t)=6t	2	12

f(t)=t³ f′(t)=3t² f″(t)=6t

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Tính đạo hàm cấp hai của f(x)=x³−2x²+5.

1. 1 Đạo hàm lần một: f′(x)=3x²−4x.
2. 2 Đạo hàm lần hai: f″(x)=6x−4.
3. 3 Hằng số 5 đã mất ở lần đạo hàm thứ nhất.

Đáp án: f″(x)=6x−4.

Tự kiểm: Lấy đạo hàm của 3x²−4x trực tiếp cho 6x−4.

Ví dụ 2

Cho f(x)=(x²+2)e^x. Tính f″(0).

1. 1 Theo quy tắc tích, f′(x)=e^x(x²+2x+2).
2. 2 Lấy đạo hàm lần nữa: f″(x)=e^x(x²+2x+2)+e^x(2x+2)=e^x(x²+4x+4).
3. 3 Thay x=0 được f″(0)=e^0·4=4.

Đáp án: f″(0)=4.

Tự kiểm: Biểu thức f″(x)=e^x(x+2)² cho trực tiếp f″(0)=4.

Ví dụ 3

Một chất điểm có s(t)=3cos(4t+π/6) mét. Tìm vận tốc và gia tốc.

1. 1 Đạo hàm vị trí: v(t)=s′(t)=−12sin(4t+π/6).
2. 2 Đạo hàm vận tốc: a(t)=v′(t)=−48cos(4t+π/6).
3. 3 Đơn vị tương ứng là m/s và m/s² nếu t tính bằng giây.

Đáp án: v(t)=−12sin(4t+π/6) m/s; a(t)=−48cos(4t+π/6) m/s².

Tự kiểm: Ta có a(t)=−16s(t), đúng khi thay s(t)=3cos(4t+π/6).

Ví dụ 4

Cho Q(x)=ax²+bx−5 và Q″(x)=10 với mọi x. Tìm a và cho biết có xác định được b không.

1. 1 Q′(x)=2ax+b.
2. 2 Q″(x)=2a.
3. 3 Điều kiện 2a=10 cho a=5; hệ số b biến mất sau lần đạo hàm thứ hai nên không được xác định.

Đáp án: a=5; b là số thực tùy ý.

Tự kiểm: Với mọi b, Q(x)=5x²+bx−5 có Q′=10x+b và Q″=10.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Viết f″=(f′)².
• Sai lầm cần tránh: Lấy đạo hàm lần hai nhưng bỏ quy tắc tích hoặc hàm hợp.
• Sai lầm cần tránh: Gọi s′ là gia tốc và s″ là vận tốc.
• Sai lầm cần tránh: Ghi đơn vị gia tốc là m/s thay vì m/s².
• Sai lầm cần tránh: Kết luận gia tốc dương luôn có nghĩa vật chuyển động nhanh dần mà không xét dấu vận tốc.