Toán lớp 11: Bài 1: Phép biến hình

Mục tiêu bài học

Giải thích và vận dụng phép biến hình trong một tình huống mới.
Giải thích và vận dụng phép đồng nhất trong một tình huống mới.
Giải thích và vận dụng ảnh của một điểm trong một tình huống mới.
Giải thích và vận dụng ảnh của một hình trong một tình huống mới.

Kiến thức cần nhớ

phép biến hình: Mỗi điểm M của mặt phẳng được gán duy nhất một điểm M′.
phép đồng nhất: Phép đồng nhất biến mọi điểm M thành chính M.
ảnh của một điểm: Nếu f(M)=M′ thì M′ là ảnh duy nhất của M qua f.
ảnh của một hình: Ảnh của hình H gồm ảnh của tất cả điểm thuộc H.

Khởi động và dự đoán

Quan sát tình huống, dự đoán đại lượng bất biến rồi ghi lại lý do.

Thuật ngữ và kí hiệu

phép biến hình phép đồng nhất ảnh của một điểm ảnh của một hình

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
Mỗi điểm M của mặt phẳng được gán duy nhất một điểm M′.	Kiểm tra tính duy nhất của ảnh với mọi điểm.	Mô tả quy tắc biến mỗi điểm của logo sang đúng một điểm trên bản phác.
Phép đồng nhất biến mọi điểm M thành chính M.	Thay M bất kì và kiểm tra M′ = M.	Giải thích vì sao thao tác không đổi tọa độ là phép đồng nhất.
Nếu f(M)=M′ thì M′ là ảnh duy nhất của M qua f.	Ghi rõ phép f, điểm gốc và điểm ảnh.	Xác định và kí hiệu ảnh của ba điểm qua một quy tắc đã cho.
Ảnh của hình H gồm ảnh của tất cả điểm thuộc H.	Kiểm tra mọi điểm ảnh đều sinh từ một điểm của H.	Lập luận về ảnh của một đoạn thẳng từ ảnh các điểm trên đoạn.

Tự kiểm tra kiến thức nền

Đọc đúng kí hiệu, đơn vị và dữ kiện đã cho.
Phân biệt định nghĩa với tính chất suy ra.
Nêu điều kiện trước khi thay số hoặc kết luận.
Tự kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác khi có thể.

Khung lập luận và chứng minh

Ghi giả thiết và kết luận bằng kí hiệu rõ ràng.
Chọn định nghĩa/tính chất đúng và nêu điều kiện áp dụng.
Tách từng bước suy luận, không suy từ hình vẽ không tỉ lệ.
Kiểm tra kết quả bằng dữ kiện độc lập hoặc trường hợp biên.

Trường hợp biên cần nhớ

Một quy tắc cho một điểm hai ảnh khác nhau không phải là phép biến hình.
Phép đồng nhất giữ nguyên mọi điểm nhưng vẫn là một phép biến hình.

Phản ví dụ chống học máy móc

Phản ví dụ/biên cần kiểm: Một quy tắc cho một điểm hai ảnh khác nhau không phải là phép biến hình.
Phản ví dụ/biên cần kiểm: Phép đồng nhất giữ nguyên mọi điểm nhưng vẫn là một phép biến hình.

Ứng dụng và mô hình thực tế

Mô tả quy tắc biến mỗi điểm của logo sang đúng một điểm trên bản phác.
Giải thích vì sao thao tác không đổi tọa độ là phép đồng nhất.
Xác định và kí hiệu ảnh của ba điểm qua một quy tắc đã cho.
Lập luận về ảnh của một đoạn thẳng từ ảnh các điểm trên đoạn.

Minh họa trực quan

Sơ đồ dữ liệu phép biến hình

Đọc điểm gốc, điểm ảnh, tham số phép biến hình và invariant ghi dưới hình.

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1 — phép biến hình

Quy tắc gán M cho hai điểm P và Q có phải phép biến hình không?

1 Dữ kiện cần dùng: Mỗi điểm M của mặt phẳng được gán duy nhất một điểm M′.
2 Thực hiện phép tính hoặc đối chiếu đúng quy ước; kết quả trung gian dẫn tới không.
3 Kết luận: không. Tự kiểm: Kiểm tra tính duy nhất của ảnh với mọi điểm.

Đáp án: không

Tự kiểm: Kiểm tra tính duy nhất của ảnh với mọi điểm.

Ví dụ 2 — phép đồng nhất

Phép đồng nhất có bao nhiêu điểm bất động trong mặt phẳng?

1 Dữ kiện cần dùng: Phép đồng nhất biến mọi điểm M thành chính M.
2 Thực hiện phép tính hoặc đối chiếu đúng quy ước; kết quả trung gian dẫn tới vô số.
3 Kết luận: vô số. Tự kiểm: Thay M bất kì và kiểm tra M′ = M.

Đáp án: vô số

Tự kiểm: Thay M bất kì và kiểm tra M′ = M.

Ví dụ 3 — ảnh của một điểm

Nếu f(A)=B thì ảnh của A qua f là điểm nào?

1 Dữ kiện cần dùng: Nếu f(M)=M′ thì M′ là ảnh duy nhất của M qua f.
2 Thực hiện phép tính hoặc đối chiếu đúng quy ước; kết quả trung gian dẫn tới B.
3 Kết luận: B. Tự kiểm: Ghi rõ phép f, điểm gốc và điểm ảnh.

Đáp án: B

Tự kiểm: Ghi rõ phép f, điểm gốc và điểm ảnh.

Ví dụ 4 — ảnh của một hình

Ảnh của tập gồm A và B qua f gồm những điểm nào?

1 Dữ kiện cần dùng: Ảnh của hình H gồm ảnh của tất cả điểm thuộc H.
2 Thực hiện phép tính hoặc đối chiếu đúng quy ước; kết quả trung gian dẫn tới f(A), f(B).
3 Kết luận: f(A), f(B). Tự kiểm: Kiểm tra mọi điểm ảnh đều sinh từ một điểm của H.

Đáp án: f(A), f(B)

Tự kiểm: Kiểm tra mọi điểm ảnh đều sinh từ một điểm của H.

Lỗi sai thường gặp

Sai: Một điểm có thể có hai ảnh. Cách sửa: Kiểm tra tính duy nhất của ảnh với mọi điểm.
Sai: Chỉ các đa giác mới có ảnh. Cách sửa: Kiểm tra tính duy nhất của ảnh với mọi điểm.
Sai: Ảnh luôn trùng điểm gốc. Cách sửa: Kiểm tra tính duy nhất của ảnh với mọi điểm.
Sai: Không có điểm nào là điểm bất động. Cách sửa: Thay M bất kì và kiểm tra M′ = M.
Sai: Mọi điểm đổi vị trí. Cách sửa: Thay M bất kì và kiểm tra M′ = M.
Sai: Chỉ tâm O được giữ nguyên. Cách sửa: Thay M bất kì và kiểm tra M′ = M.
Sai: M là ảnh của M′ trong mọi trường hợp. Cách sửa: Ghi rõ phép f, điểm gốc và điểm ảnh.
Sai: Ảnh không phụ thuộc phép f. Cách sửa: Ghi rõ phép f, điểm gốc và điểm ảnh.

Cấp 1

Cấp 2

Cấp 3