Toán lớp 11: Bài 8: Một vài khái niệm cơ bản

Mục tiêu bài học

• Giải thích và vận dụng đỉnh và cạnh trong một tình huống mới.
• Giải thích và vận dụng bậc của đỉnh trong một tình huống mới.
• Giải thích và vận dụng đường đi và chu trình trong một tình huống mới.
• Giải thích và vận dụng biểu diễn đồ thị trong một tình huống mới.

Kiến thức cần nhớ

• đỉnh và cạnh: Đồ thị gồm tập đỉnh và tập cạnh nối các cặp đỉnh theo quy ước.
• bậc của đỉnh: Bậc của đỉnh là số cạnh liên thuộc với đỉnh đó trong đồ thị đơn.
• đường đi và chu trình: Đường đi liên tiếp theo các cạnh; chu trình khép kín về đỉnh đầu.
• biểu diễn đồ thị: Có thể biểu diễn đồ thị bằng hình vẽ, danh sách cạnh hoặc bảng kề nhưng các biểu diễn phải cho cùng tập đỉnh và cạnh.

Khởi động và dự đoán

• Quan sát tình huống, dự đoán đại lượng bất biến rồi ghi lại lý do.

Thuật ngữ và kí hiệu

đỉnh và cạnh bậc của đỉnh đường đi và chu trình biểu diễn đồ thị

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
Đồ thị gồm tập đỉnh và tập cạnh nối các cặp đỉnh theo quy ước.	Liệt kê V và E trước khi suy luận.	Mô hình hóa mạng ba địa điểm bằng tập đỉnh và cạnh.
Bậc của đỉnh là số cạnh liên thuộc với đỉnh đó trong đồ thị đơn.	Đếm cạnh kề đúng một lần.	Tính dãy bậc và kiểm tra tổng bậc bằng hai lần số cạnh.
Đường đi liên tiếp theo các cạnh; chu trình khép kín về đỉnh đầu.	Kiểm tra từng cặp đỉnh liên tiếp có cạnh.	Kiểm tra một dãy đỉnh có tạo đường đi hợp lệ.
Có thể biểu diễn đồ thị bằng hình vẽ, danh sách cạnh hoặc bảng kề nhưng các biểu diễn phải cho cùng tập đỉnh và cạnh.	Đối chiếu từng cặp đỉnh kề giữa hai biểu diễn.	Chuyển một mạng nhỏ từ hình vẽ sang danh sách đỉnh và cạnh.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Đọc đúng kí hiệu, đơn vị và dữ kiện đã cho.
• Phân biệt định nghĩa với tính chất suy ra.
• Nêu điều kiện trước khi thay số hoặc kết luận.
• Tự kiểm tra bằng một cách biểu diễn khác khi có thể.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi giả thiết và kết luận bằng kí hiệu rõ ràng.
• Chọn định nghĩa/tính chất đúng và nêu điều kiện áp dụng.
• Tách từng bước suy luận, không suy từ hình vẽ không tỉ lệ.
• Kiểm tra kết quả bằng dữ kiện độc lập hoặc trường hợp biên.

Trường hợp biên cần nhớ

• Bậc đỉnh đếm số cạnh liên thuộc; mỗi khuyên, nếu được xét, đóng góp 2 vào bậc.
• Một hình vẽ giao nhau không tạo đỉnh nếu không được đánh dấu.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Phản ví dụ/biên cần kiểm: Bậc đỉnh đếm số cạnh liên thuộc; mỗi khuyên, nếu được xét, đóng góp 2 vào bậc.
• Phản ví dụ/biên cần kiểm: Một hình vẽ giao nhau không tạo đỉnh nếu không được đánh dấu.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Mô hình hóa mạng ba địa điểm bằng tập đỉnh và cạnh.
• Tính dãy bậc và kiểm tra tổng bậc bằng hai lần số cạnh.
• Kiểm tra một dãy đỉnh có tạo đường đi hợp lệ.
• Chuyển một mạng nhỏ từ hình vẽ sang danh sách đỉnh và cạnh.

Minh họa trực quan

Đồ thị đỉnh–cạnh

Theo dõi đỉnh và cạnh bằng nhãn, không tạo đỉnh tại giao điểm không đánh dấu.

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1 — đỉnh và cạnh

Đồ thị tam giác có bao nhiêu cạnh?

1. 1 Dữ kiện cần dùng: Đồ thị gồm tập đỉnh và tập cạnh nối các cặp đỉnh theo quy ước.
2. 2 Thực hiện phép tính hoặc đối chiếu đúng quy ước; kết quả trung gian dẫn tới 3.
3. 3 Kết luận: 3. Tự kiểm: Liệt kê V và E trước khi suy luận.

Đáp án: 3

Tự kiểm: Liệt kê V và E trước khi suy luận.

Ví dụ 2 — bậc của đỉnh

Trong K4, mỗi đỉnh có bậc bao nhiêu?

1. 1 Dữ kiện cần dùng: Bậc của đỉnh là số cạnh liên thuộc với đỉnh đó trong đồ thị đơn.
2. 2 Thực hiện phép tính hoặc đối chiếu đúng quy ước; kết quả trung gian dẫn tới 3.
3. 3 Kết luận: 3. Tự kiểm: Đếm cạnh kề đúng một lần.

Đáp án: 3

Tự kiểm: Đếm cạnh kề đúng một lần.

Ví dụ 3 — đường đi và chu trình

Dãy A-B-C-A khép kín được gọi là gì?

1. 1 Dữ kiện cần dùng: Đường đi liên tiếp theo các cạnh; chu trình khép kín về đỉnh đầu.
2. 2 Thực hiện phép tính hoặc đối chiếu đúng quy ước; kết quả trung gian dẫn tới chu trình.
3. 3 Kết luận: chu trình. Tự kiểm: Kiểm tra từng cặp đỉnh liên tiếp có cạnh.

Đáp án: chu trình

Tự kiểm: Kiểm tra từng cặp đỉnh liên tiếp có cạnh.

Ví dụ 4 — biểu diễn đồ thị

Danh sách cạnh AB, BC, CA biểu diễn đồ thị có bao nhiêu cạnh?

1. 1 Dữ kiện cần dùng: Có thể biểu diễn đồ thị bằng hình vẽ, danh sách cạnh hoặc bảng kề nhưng các biểu diễn phải cho cùng tập đỉnh và cạnh.
2. 2 Thực hiện phép tính hoặc đối chiếu đúng quy ước; kết quả trung gian dẫn tới 3.
3. 3 Kết luận: 3. Tự kiểm: Đối chiếu từng cặp đỉnh kề giữa hai biểu diễn.

Đáp án: 3

Tự kiểm: Đối chiếu từng cặp đỉnh kề giữa hai biểu diễn.

Lỗi sai thường gặp

• Sai: Mọi giao điểm nét vẽ là đỉnh. Cách sửa: Liệt kê V và E trước khi suy luận.
• Sai: Cạnh không cần đầu mút. Cách sửa: Liệt kê V và E trước khi suy luận.
• Sai: Đỉnh phải là số. Cách sửa: Liệt kê V và E trước khi suy luận.
• Sai: Là tổng số đỉnh. Cách sửa: Đếm cạnh kề đúng một lần.
• Sai: Là số đường đi qua đỉnh. Cách sửa: Đếm cạnh kề đúng một lần.
• Sai: Luôn bằng 2. Cách sửa: Đếm cạnh kề đúng một lần.
• Sai: Đường đi có thể nhảy giữa hai đỉnh không kề. Cách sửa: Kiểm tra từng cặp đỉnh liên tiếp có cạnh.
• Sai: Chu trình không cần khép kín. Cách sửa: Kiểm tra từng cặp đỉnh liên tiếp có cạnh.