Toán lớp 12: Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Mục tiêu bài học

• Phân biệt được cực trị địa phương với giá trị lớn nhất/nhỏ nhất trên một tập được chỉ rõ.
• Xác định được các điểm ứng viên bằng đạo hàm và kiểm tra đúng điểm thuộc miền xét.
• Tính và so sánh được giá trị tại điểm tới hạn, điểm biên hoặc mốc đặc biệt cần xét trong trường hợp đơn giản.
• Kết luận được sự tồn tại hoặc không tồn tại của giá trị lớn nhất/nhỏ nhất, kèm đúng tập xét và giá trị đạt được.

Kiến thức cần nhớ

• GTLN/GTNN là khái niệm trên một tập xét cụ thể, khác cực trị địa phương.
• Trên đoạn đóng, hàm liên tục đạt cả GTLN và GTNN; ứng viên gồm điểm tới hạn trong đoạn và hai đầu mút.
• Trên tập mở, nửa mở hoặc có điểm loại phải xét giới hạn/khả năng đạt, không tự thêm biên.
• Kết luận luôn gồm giá trị, vị trí đạt và tập đang xét.

Khởi động và dự đoán

• Khởi động: Tìm GTLN, GTNN của f(x)=x²−2x trên [0,3]. Hãy dự đoán kết quả, ghi điều kiện cần kiểm rồi mới xem lời giải.

Thuật ngữ và kí hiệu

max_D f: giá trị lớn nhất trên D x₀: điểm thuộc D nơi hàm đạt giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất D: tập xét phải ghi rõ

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
max_D f=M ⇔ f(x)≤M với mọi x∈D và tồn tại x₀∈D: f(x₀)=M	D không rỗng — x,x₀∈D — Một cận trên không được đạt thì không phải GTLN.	M là GTLN và x₀ là nơi đạt.
Ứng viên trên [a,b]: a,b và x∈(a,b) với f'(x)=0 hoặc f' không tồn tại	f liên tục trên [a,b] — a<b và x∈[a,b] — Không đưa nghiệm ngoài [a,b] hoặc điểm không thuộc miền vào bảng.	So sánh hữu hạn các giá trị ứng viên để lấy min/max.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Một hàm liên tục trên [a,b] cần kiểm những ứng viên nào?
• Vì sao x=0 không là ứng viên của x+1/x trên (0,2]?

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của từng công thức.
• Mỗi biến đổi phải chỉ ra là tương đương hay chỉ là hệ quả; trường hợp hệ quả phải thử lại.
• Đối chiếu từng bước với định nghĩa, điều kiện công thức và kết luận của bài.
• Kiểm trường hợp biên và đối chiếu bằng một cách độc lập trước khi kết luận.

Trường hợp biên cần nhớ

• Một cận trên không được đạt thì không phải GTLN.
• Không đưa nghiệm ngoài [a,b] hoặc điểm không thuộc miền vào bảng.
• Ngoài phạm vi bài: khẳng định tập mở luôn có GTLN/GTNN.
• Ngoài phạm vi bài: bỏ điểm biên.
• Ngoài phạm vi bài: nhầm cực trị với giá trị lớn nhất toàn cục.
• Ngoài phạm vi bài: tối ưu số nguyên mà không kiểm tính khả thi.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Trên (0,1), hàm f(x)=x bị chặn trên bởi 1 nhưng không có GTLN vì 1 không được đạt.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Vận dụng kiến thức của bài “Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số” trong một tình huống có dữ kiện, đơn vị và bước kiểm kết quả rõ ràng.

Minh họa trực quan

Ứng viên GTLN/GTNN trên đoạn

So cả hai đầu mút 0,3 và điểm tới hạn 1 của y=x²−2x.

Bảng điểm dùng để dựng Ứng viên GTLN/GTNN trên đoạn

Dãy	x	y
y=x²−2x	0	0
y=x²−2x	0.5	-0.75
y=x²−2x	1	-1
y=x²−2x	2	0
y=x²−2x	3	3

y=x²−2x

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Tìm GTLN, GTNN của f(x)=x²−2x trên [0,3].

1. 1 f'(x)=2x−2=0 cho x=1.
2. 2 Tính f(0)=0, f(1)=−1, f(3)=3.
3. 3 So sánh các giá trị hợp lệ.

Đáp án: GTNN −1 tại x=1; GTLN 3 tại x=3.

Tự kiểm: Ba ứng viên đều thuộc đoạn và mọi nhánh biến thiên đã được chặn bởi 0,1,3.

Ví dụ 2

Xét f(x)=x trên khoảng (0,1). Hàm có GTLN, GTNN không?

1. 1 Mọi x đều thỏa 0<x<1.
2. 2 0 và 1 chỉ là cận, không thuộc tập.
3. 3 Luôn có thể chọn số nhỏ hơn hoặc lớn hơn vẫn trong khoảng.

Đáp án: Không có GTLN và không có GTNN trên (0,1).

Tự kiểm: Cận trên là 1 và cận dưới là 0 nhưng f không đạt hai giá trị ấy.

Ví dụ 3

Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x)=x+4/x với x>0.

1. 1 f'(x)=1−4/x²; điểm tới hạn dương là x=2.
2. 2 f' âm trên (0,2), dương trên (2,+∞).
3. 3 Suy điểm đổi chiều là nơi đạt GTNN.

Đáp án: GTNN bằng 4 tại x=2.

Tự kiểm: x+4/x−4=(x−2)²/x≥0 vì x>0.

Ví dụ 4

Trên D={−1,0,2}, hàm có các giá trị f(−1)=3, f(0)=3, f(2)=1. Xác định GTLN/GTNN và nơi đạt.

1. 1 So cả ba giá trị trên đúng tập D.
2. 2 Giá trị lớn nhất 3 xuất hiện hai lần.
3. 3 Giá trị nhỏ nhất 1 xuất hiện tại x=2.

Đáp án: GTLN 3 tại x=−1 và x=0; GTNN 1 tại x=2.

Tự kiểm: Mọi điểm của D đã được xét và nơi đạt được liệt kê đủ.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Nhầm cực đại địa phương với GTLN.
• Sai lầm cần tránh: So sánh mà quên đầu mút.
• Sai lầm cần tránh: Gọi cận trên là GTLN khi giá trị ấy không đạt được.
• Sai lầm cần tránh: Đưa điểm loại vào bảng giá trị.