Toán lớp 12: Bài 5: Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề thực tiễn

Mục tiêu bài học

• Chuyển được tình huống thực tiễn thành biến, hàm mục tiêu, miền khả thi và đơn vị có ý nghĩa.
• Dùng được đạo hàm/bảng biến thiên để tìm các phương án ứng viên, kể cả biên khi cần.
• So sánh được các phương án và xác định tối ưu phù hợp miền liên tục hoặc ràng buộc rời rạc đã nêu.
• Diễn giải và kiểm tra được kết quả theo giả định, đơn vị, độ chính xác và tính khả thi của mô hình.

Kiến thức cần nhớ

• Mô hình phải nêu biến quyết định, đại lượng mục tiêu, đơn vị, miền khả thi và giả định.
• Tối ưu giải tích gồm điểm tới hạn và biên; nếu biến thực tế rời rạc phải kiểm các phương án rời rạc lân cận.
• Kết quả toán học phải được dịch về ngữ cảnh và làm tròn theo độ chính xác hợp lý.
• Mô hình không được ngoại suy hoặc biến thành khuyến nghị tài chính/thực tế.

Khởi động và dự đoán

• Khởi động: Từ tấm bìa 20 cm × 12 cm, cắt bốn hình vuông cạnh x ở góc rồi gấp hộp không nắp. Lập miền và thể tích. Hãy dự đoán kết quả, ghi điều kiện cần kiểm rồi mới xem lời giải.

Thuật ngữ và kí hiệu

x: biến quyết định kèm đơn vị D: miền khả thi F: hàm mục tiêu

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
Tối ưu F(x) trên D khả thi	F mô tả đúng mục tiêu; D thu từ mọi ràng buộc vật lý — x∈D — Nếu x phải nguyên, kiểm các giá trị nguyên khả thi quanh nghiệm liên tục.	So sánh F tại điểm tới hạn và biên hợp lệ.
v(t)=s'(t)	s là tọa độ hoặc độ dời đại số khả vi theo thời gian — t trong khoảng mô hình — Không dùng ngoài khoảng dữ liệu; tốc độ là |v|.	Đạo hàm của tọa độ hoặc độ dời đại số cho vận tốc tức thời theo quy ước dấu.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Vì sao biên của miền mô hình luôn phải được kiểm?
• Khi biến là số người, cần làm gì với nghiệm 24,4?

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của từng công thức.
• Mỗi biến đổi phải chỉ ra là tương đương hay chỉ là hệ quả; trường hợp hệ quả phải thử lại.
• Đối chiếu từng bước với định nghĩa, điều kiện công thức và kết luận của bài.
• Kiểm trường hợp biên và đối chiếu bằng một cách độc lập trước khi kết luận.

Trường hợp biên cần nhớ

• Nếu x phải nguyên, kiểm các giá trị nguyên khả thi quanh nghiệm liên tục.
• Không dùng ngoài khoảng dữ liệu; tốc độ là |v|.
• Ngoài phạm vi bài: ngữ cảnh giả không có đơn vị.
• Ngoài phạm vi bài: ngoại suy ngoài miền mô hình.
• Ngoài phạm vi bài: bỏ nghiệm biên.
• Ngoài phạm vi bài: khuyến nghị tài chính thực tế.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Nghiệm x=8 của hộp ở ví dụ trên không khả thi dù có thể là nghiệm của phương trình đạo hàm, vì 12−2x<0.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Vận dụng kiến thức của bài “Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề thực tiễn” trong một tình huống có dữ kiện, đơn vị và bước kiểm kết quả rõ ràng.

Minh họa trực quan

Thể tích hộp theo cạnh cắt

Đồ thị hiển thị cả x=0 và x=6 để thấy thể tích bằng 0; miền của chiếc hộp không suy biến là 0<x<6 cm.

Bảng điểm dùng để dựng Thể tích hộp theo cạnh cắt

Dãy	x	y
V=x(20−2x)(12−2x)	0	0
V=x(20−2x)(12−2x)	1	180
V=x(20−2x)(12−2x)	2	256
V=x(20−2x)(12−2x)	2.4274	262.035
V=x(20−2x)(12−2x)	3	252
V=x(20−2x)(12−2x)	5	100
V=x(20−2x)(12−2x)	6	0

V=x(20−2x)(12−2x)

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Từ tấm bìa 20 cm × 12 cm, cắt bốn hình vuông cạnh x ở góc rồi gấp hộp không nắp. Lập miền và thể tích.

1. 1 Các kích thước là 20−2x, 12−2x, x.
2. 2 Cần x>0, 20−2x>0, 12−2x>0.
3. 3 Suy 0<x<6 và V=x(20−2x)(12−2x).

Đáp án: Miền 0<x<6; V(x)=x(20−2x)(12−2x) cm³.

Tự kiểm: Tại mọi x trong miền, ba kích thước đều dương.

Ví dụ 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của C(x)=x+9/x với x>0 trong một mô hình chi phí.

1. 1 C'=1−9/x²=0 cho x=3.
2. 2 C' đổi từ âm sang dương tại 3.
3. 3 Tính C(3)=6.

Đáp án: Chi phí mô hình nhỏ nhất là 6 đơn vị tại x=3.

Tự kiểm: C−6=(x−3)²/x≥0 trên x>0.

Ví dụ 3

Mô hình có hàm mục tiêu lồi nghiêm ngặt và nghiệm tối ưu liên tục n=17,6 sản phẩm. Chọn số sản phẩm nguyên khi giá trị mục tiêu tại hai ứng viên nguyên lân cận 17 và 18 lần lượt là 102 và 101.

1. 1 Nghiệm liên tục không khả thi vì n nguyên.
2. 2 Do hàm mục tiêu lồi nghiêm ngặt, chỉ cần so hai số nguyên lân cận 17 và 18.
3. 3 Chọn ứng viên có giá trị mục tiêu nhỏ hơn.

Đáp án: Chọn 18 sản phẩm trong phạm vi giả định của mô hình.

Tự kiểm: Tính lồi nghiêm ngặt khóa hai ứng viên lân cận; so sánh trực tiếp cho 101<102.

Ví dụ 4

Một mô hình có C(x)=x²−8x+20 trên miền số nguyên 0≤x≤6. Tìm phương án nhỏ nhất.

1. 1 Nghiệm liên tục từ C'=2x−8=0 là x=4.
2. 2 x=4 là số nguyên và thuộc miền; vẫn so biên C(0)=20,C(6)=8.
3. 3 Tính C(4)=4.

Đáp án: C nhỏ nhất bằng 4 tại x=4.

Tự kiểm: Đã kiểm nghiệm nội miền và hai biên khả thi.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Không ghi đơn vị/miền.
• Sai lầm cần tránh: Chỉ kiểm điểm đạo hàm bằng 0.
• Sai lầm cần tránh: Làm tròn nghiệm liên tục mà không so phương án rời rạc.
• Sai lầm cần tránh: Tuyên bố kết quả vượt phạm vi giả định.