Toán lớp 12: Bài 6: Vectơ trong không gian

Mục tiêu bài học

• Nhận biết và biểu diễn được vectơ, vectơ bằng nhau và vectơ-không trong hình không gian.
• Thực hiện được tổng, hiệu và tích của một số với vectơ bằng các quy tắc hình học phù hợp.
• Tính và sử dụng được tích vô hướng để xác định độ dài, góc hoặc vuông góc khi các vectơ khác không.
• Vận dụng được quan hệ vectơ để giải bài toán hình học hoặc mô hình không gian đơn giản.

Kiến thức cần nhớ

• Vectơ trong không gian có điểm đầu, điểm cuối, hướng và độ dài; vectơ-không không có hướng xác định.
• Quy tắc ba điểm và hình bình hành vẫn giữ nguyên trong không gian.
• Tích vô hướng liên hệ độ dài, góc và vuông góc nhưng công thức góc chỉ dùng cho hai vectơ khác 0.
• Hình phối cảnh chỉ hỗ trợ nhìn; mọi quan hệ phải đến từ giả thiết hoặc phép tính.

Khởi động và dự đoán

• Khởi động: Trong tứ diện ABCD, rút gọn AB⃗+BC⃗+CD⃗. Hãy dự đoán kết quả, ghi điều kiện cần kiểm rồi mới xem lời giải.

Thuật ngữ và kí hiệu

AB⃗: vectơ từ A đến B 0⃗: vectơ-không θ: góc không định hướng trong [0,π]

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
AB⃗+BC⃗=AC⃗	A,B,C là các điểm — không gian Euclid — Điểm trung gian trùng vẫn hợp lệ và có thể xuất hiện vectơ-không.	Cộng vectơ theo quy tắc ba điểm.
u⃗·v⃗=|u⃗||v⃗|cosθ	u⃗,v⃗ khác 0 — θ∈[0,π] — Nếu một vectơ bằng 0 thì góc không xác định.	Tính tích vô hướng hoặc góc giữa hai vectơ.
u⃗⊥v⃗ ⇔ u⃗·v⃗=0	u⃗,v⃗ khác 0 khi nói về hướng/góc — không gian Euclid — Tích với vectơ 0 bằng 0 nhưng không dùng để suy một góc vuông.	Kiểm vuông góc bằng tích vô hướng.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Khi đảo AB⃗ thành BA⃗ phải đổi gì?
• Điều kiện nào phải kiểm trước công thức cos góc?

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của từng công thức.
• Mỗi biến đổi phải chỉ ra là tương đương hay chỉ là hệ quả; trường hợp hệ quả phải thử lại.
• Đối chiếu từng bước với định nghĩa, điều kiện công thức và kết luận của bài.
• Kiểm trường hợp biên và đối chiếu bằng một cách độc lập trước khi kết luận.

Trường hợp biên cần nhớ

• Điểm trung gian trùng vẫn hợp lệ và có thể xuất hiện vectơ-không.
• Nếu một vectơ bằng 0 thì góc không xác định.
• Tích với vectơ 0 bằng 0 nhưng không dùng để suy một góc vuông.
• Ngoài phạm vi bài: tích có hướng như phép toán bắt buộc.
• Ngoài phạm vi bài: đo trực tiếp trên hình phối cảnh.
• Ngoài phạm vi bài: không gian vectơ tiên đề.
• Ngoài phạm vi bài: suy vuông góc từ hình vẽ.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Vì 0⃗·u⃗=0 không có nghĩa là góc giữa 0⃗ và u⃗ bằng 90°; góc đó không xác định.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Vận dụng kiến thức của bài “Vectơ trong không gian” trong một tình huống có dữ kiện, đơn vị và bước kiểm kết quả rõ ràng.

Minh họa trực quan

Vectơ trong hệ trục không gian

Mũi tên đỏ biểu diễn OA⃗; đọc quan hệ từ tọa độ đã cho, không đo hình phối cảnh.

O(0;0;0): [0,0,0]

A(2;1;1): [2,1,1]

OA⃗=(2;1;1)

|OA⃗|=√6

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Trong tứ diện ABCD, rút gọn AB⃗+BC⃗+CD⃗.

1. 1 AB⃗+BC⃗=AC⃗.
2. 2 AC⃗+CD⃗=AD⃗.
3. 3 Giữ đúng thứ tự điểm đầu–cuối.

Đáp án: AD⃗.

Tự kiểm: Đường đi A→B→C→D có độ dời A→D.

Ví dụ 2

Cho |u⃗|=2, |v⃗|=3 và u⃗·v⃗=3. Tính góc giữa chúng.

1. 1 cosθ=3/(2·3)=1/2.
2. 2 Chọn θ trong [0,π].
3. 3 Suy θ=60°.

Đáp án: 60°.

Tự kiểm: 2·3·cos60°=3.

Ví dụ 3

Cho M là trung điểm AB. Viết AM⃗ theo AB⃗.

1. 1 M nằm giữa A,B.
2. 2 Độ dài AM bằng nửa AB và cùng hướng.
3. 3 Dùng nhân số–vectơ.

Đáp án: AM⃗=(1/2)AB⃗.

Tự kiểm: MB⃗ cũng bằng (1/2)AB⃗, còn MA⃗=−(1/2)AB⃗.

Ví dụ 4

Một vật dịch chuyển theo ba chặng có vectơ a⃗,b⃗,c⃗. Viết độ dời tổng và điều kiện để trở về vị trí đầu.

1. 1 Cộng các độ dời theo thứ tự.
2. 2 Độ dời tổng là a⃗+b⃗+c⃗.
3. 3 Trở về điểm đầu khi độ dời tổng bằng 0⃗.

Đáp án: Độ dời tổng a⃗+b⃗+c⃗; vật trở về đầu khi a⃗+b⃗+c⃗=0⃗.

Tự kiểm: Điều kiện là quan hệ vectơ, không phụ thuộc hình phối cảnh.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Đổi thứ tự đầu–cuối mà không đổi dấu.
• Sai lầm cần tránh: Dùng công thức góc với vectơ 0.
• Sai lầm cần tránh: Suy vuông góc từ hình phối cảnh.
• Sai lầm cần tránh: Đưa tích có hướng vào nội dung cốt lõi.