Toán lớp 12: Bài 11: Nguyên hàm

Mục tiêu bài học

• Nhận biết và kiểm tra được một hàm là nguyên hàm bằng phép đạo hàm trên miền đang xét.
• Giải thích và vận dụng được tính tuyến tính cùng hằng số tùy ý của họ nguyên hàm.
• Xác định được nguyên hàm của các hàm sơ cấp được liệt kê trong chương trình với đúng điều kiện miền.
• Tính được nguyên hàm trong trường hợp đơn giản và xác định hằng số từ điều kiện ban đầu khi có.

Kiến thức cần nhớ

• F là nguyên hàm của f trên một khoảng khi F'=f tại mọi điểm của khoảng.
• Mọi nguyên hàm trên cùng một khoảng sai khác một hằng số; luôn ghi +C.
• Tuyến tính áp cho tổng và hệ số hằng.
• Bảng nguyên hàm phải giữ điều kiện miền, đặc biệt với 1/x và hàm lượng giác có mẫu.
• Nội dung cốt lõi không dùng phương pháp từng phần hoặc đổi biến tổng quát.

Khởi động và dự đoán

• Khởi động: Kiểm tra F(x)=x³/3−2x là nguyên hàm của f(x)=x²−2. Hãy dự đoán kết quả, ghi điều kiện cần kiểm rồi mới xem lời giải.

Thuật ngữ và kí hiệu

C: hằng số tùy ý trên một khoảng ∫f(x)dx: họ nguyên hàm ln|x|: logarit của giá trị tuyệt đối

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
∫x^α dx=x^(α+1)/(α+1)+C	α≠−1 — trên khoảng mà lũy thừa được xác định theo bài — α=−1 phải dùng ln|x|.	Họ nguyên hàm của x^α.
∫(1/x)dx=ln|x|+C	x≠0 — từng khoảng (−∞,0) hoặc (0,+∞) — Hằng số có thể khác nhau trên hai thành phần miền.	Đạo hàm cho 1/x trên mỗi khoảng.
∫[af(x)+bg(x)]dx=a∫f(x)dx+b∫g(x)dx	a,b hằng; f,g có nguyên hàm trên cùng khoảng — một khoảng chung — Không kéo hệ số phụ thuộc x ra ngoài.	Tính tuyến tính của nguyên hàm.
∫e^x dx=e^x+C; ∫a^x dx=a^x/ln a+C	a>0 và a≠1 đối với a^x — x∈ℝ — a=1 làm ln a=0; khi đó hàm dưới dấu tích phân là hằng 1 và phải dùng ∫1dx=x+C.	Các nguyên hàm hàm mũ trong bảng công thức của chương trình.
∫cos x dx=sin x+C; ∫sin x dx=−cos x+C; ∫dx/cos²x=tan x+C; ∫dx/sin²x=−cot x+C	mỗi công thức dùng trên một khoảng mà hàm dưới dấu tích phân tương ứng xác định — cos x≠0 cho tan; sin x≠0 cho cot — Hằng số có thể khác giữa các khoảng bị ngăn bởi điểm làm mẫu bằng 0.	Các nguyên hàm lượng giác cơ bản trong bảng công thức của chương trình.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Vì sao hai nguyên hàm chỉ sai khác hằng số trên cùng một khoảng?
• Đạo hàm nào giúp kiểm nhanh một đáp án nguyên hàm?

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của từng công thức.
• Mỗi biến đổi phải chỉ ra là tương đương hay chỉ là hệ quả; trường hợp hệ quả phải thử lại.
• Đối chiếu từng bước với định nghĩa, điều kiện công thức và kết luận của bài.
• Kiểm trường hợp biên và đối chiếu bằng một cách độc lập trước khi kết luận.

Trường hợp biên cần nhớ

• α=−1 phải dùng ln|x|.
• Hằng số có thể khác nhau trên hai thành phần miền.
• Không kéo hệ số phụ thuộc x ra ngoài.
• a=1 làm ln a=0; khi đó hàm dưới dấu tích phân là hằng 1 và phải dùng ∫1dx=x+C.
• Hằng số có thể khác giữa các khoảng bị ngăn bởi điểm làm mẫu bằng 0.
• Ngoài phạm vi bài: tích phân từng phần.
• Ngoài phạm vi bài: phép đổi biến tổng quát.
• Ngoài phạm vi bài: hàm đặc biệt.
• Ngoài phạm vi bài: bỏ +C hoặc bỏ miền.

Phản ví dụ chống học máy móc

• ln x không là nguyên hàm trên x<0 vì không xác định ở đó; ln|x| mới có đạo hàm 1/x trên từng khoảng không chứa 0.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Vận dụng kiến thức của bài “Nguyên hàm” trong một tình huống có dữ kiện, đơn vị và bước kiểm kết quả rõ ràng.

Minh họa trực quan

Một nguyên hàm và đạo hàm tương ứng

Hai đường dữ liệu là các hàm đại số trừu tượng; kiểm F′=f tại các điểm, không so độ lớn như cùng đại lượng vật lý.

Bảng điểm dùng để dựng Một nguyên hàm và đạo hàm tương ứng

Dãy	x	y
F=x³/3−2x	-2	1.333333
F=x³/3−2x	-1	1.666667
F=x³/3−2x	0	0
F=x³/3−2x	1	-1.666667
F=x³/3−2x	2	-1.333333
f=x²−2	-2	2
f=x²−2	-1	-1
f=x²−2	0	-2
f=x²−2	1	-1
f=x²−2	2	2

F=x³/3−2x f=x²−2

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Kiểm tra F(x)=x³/3−2x là nguyên hàm của f(x)=x²−2.

1. 1 Tính F'(x)=x²−2.
2. 2 So với f trên ℝ.
3. 3 Kết luận theo định nghĩa.

Đáp án: F là một nguyên hàm của f trên ℝ.

Tự kiểm: Đạo hàm từng hạng khớp chính xác.

Ví dụ 2

Tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x)=3x²−4 trên ℝ.

1. 1 Dùng tuyến tính.
2. 2 ∫3x²dx=x³; ∫−4dx=−4x.
3. 3 Thêm hằng số.

Đáp án: x³−4x+C.

Tự kiểm: Đạo hàm kết quả là 3x²−4.

Ví dụ 3

Tìm F biết F'(x)=2x và F(1)=5.

1. 1 F=x²+C.
2. 2 Thay x=1: 1+C=5.
3. 3 Suy C=4.

Đáp án: F(x)=x²+4.

Tự kiểm: F'=2x và F(1)=5.

Ví dụ 4

Tính ∫(2cos x+3e^x)dx.

1. 1 Tách tổng và kéo hai hệ số hằng.
2. 2 Nguyên hàm cos x là sin x; của e^x là e^x.
3. 3 Thêm một hằng số chung.

Đáp án: 2sin x+3e^x+C.

Tự kiểm: Đạo hàm kết quả là 2cos x+3e^x.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Bỏ +C.
• Sai lầm cần tránh: Viết ∫1/x dx=ln x trên x<0.
• Sai lầm cần tránh: Dùng quy tắc nguyên hàm của tích như tích hai nguyên hàm.
• Sai lầm cần tránh: Áp phương pháp ngoài phạm vi bài.