Toán lớp 12: Bài 10: Phương sai và độ lệch chuẩn

Mục tiêu bài học

• Dùng được giá trị đại diện và tần số của nhóm để lập các tổng cần thiết cho mẫu ghép nhóm.
• Tính được phương sai của mẫu ghép nhóm theo đúng công thức/quy ước chương trình.
• Tính được độ lệch chuẩn và kiểm tra quan hệ với phương sai cùng đơn vị thích hợp.
• Giải thích, so sánh và rút ra kết luận đơn giản từ phương sai/độ lệch chuẩn trong thực tiễn hoặc liên môn.

Kiến thức cần nhớ

• Mỗi lớp được đại diện bởi trung điểm khi tính gần đúng số trung bình và phương sai.
• Dùng đúng quy ước phương sai của mẫu số liệu trong chương trình, chia cho n.
• Phương sai không âm và mang bình phương đơn vị; độ lệch chuẩn là căn không âm và cùng đơn vị dữ liệu.
• So sánh chỉ được diễn giải trong giới hạn của dữ liệu ghép nhóm.

Khởi động và dự đoán

• Khởi động: Lớp [0,10), [10,20) có tần số 2,3. Tính số trung bình đại diện. Hãy dự đoán kết quả, ghi điều kiện cần kiểm rồi mới xem lời giải.

Thuật ngữ và kí hiệu

c_i: giá trị đại diện lớp i n_i: tần số lớp i n: tổng tần số s²/s: phương sai/độ lệch chuẩn

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
x̄=(1/n)Σ n_i c_i	c_i là giá trị đại diện lớp; n=Σn_i>0 — bảng ghép nhóm hữu hạn — Không dùng đầu mút thay trung điểm nếu quy ước không nói vậy.	Tính số trung bình gần đúng.
s²=(1/n)Σ n_i(c_i−x̄)²	n>0; dùng cùng c_i và x̄ — mẫu ghép nhóm theo quy ước của chương trình — Không tự thay mẫu số n−1.	Tính phương sai không âm.
s=√s²	s²≥0 — s lấy căn không âm — Nếu mọi c_i bằng nhau thì s=0.	Độ lệch chuẩn cùng đơn vị dữ liệu.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Vì sao s không thể âm?
• Nếu mọi giá trị đại diện bằng 7 thì s² bằng bao nhiêu?

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của từng công thức.
• Mỗi biến đổi phải chỉ ra là tương đương hay chỉ là hệ quả; trường hợp hệ quả phải thử lại.
• Đối chiếu từng bước với định nghĩa, điều kiện công thức và kết luận của bài.
• Kiểm trường hợp biên và đối chiếu bằng một cách độc lập trước khi kết luận.

Trường hợp biên cần nhớ

• Không dùng đầu mút thay trung điểm nếu quy ước không nói vậy.
• Không tự thay mẫu số n−1.
• Nếu mọi c_i bằng nhau thì s=0.
• Ngoài phạm vi bài: hiệu chỉnh Bessel như bắt buộc.
• Ngoài phạm vi bài: trộn công thức dữ liệu thô với ghép nhóm.
• Ngoài phạm vi bài: suy nhân quả.
• Ngoài phạm vi bài: bỏ đơn vị độ lệch chuẩn.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Hai mẫu có cùng trung bình vẫn có thể có độ lệch chuẩn khác; trung bình không đo mức phân tán.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Vận dụng kiến thức của bài “Phương sai và độ lệch chuẩn” trong một tình huống có dữ kiện, đơn vị và bước kiểm kết quả rõ ràng.

Minh họa trực quan

Giá trị đại diện và tần số

Dùng trung điểm lớp và tần số; không đọc các cột như dữ liệu gốc chính xác.

c=2,5

2

c=7,5

5

c=12,5

4

c=17,5

1

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Lớp [0,10), [10,20) có tần số 2,3. Tính số trung bình đại diện.

1. 1 Trung điểm là 5 và 15.
2. 2 Tổng có trọng số 2·5+3·15=55.
3. 3 Chia n=5.

Đáp án: x̄=11.

Tự kiểm: 11 nằm giữa hai giá trị đại diện 5 và 15.

Ví dụ 2

Với các giá trị đại diện 1,3 có tần số 1,1, tính phương sai.

1. 1 x̄=2.
2. 2 Bình phương độ lệch đều bằng 1.
3. 3 Chia tổng 2 cho n=2.

Đáp án: s²=1.

Tự kiểm: Phương sai không âm; công thức tương đương trung bình bình phương trừ bình phương trung bình.

Ví dụ 3

Nếu phương sai một mẫu chiều cao là 6,25 cm², tính độ lệch chuẩn.

1. 1 Lấy căn không âm của 6,25.
2. 2 √6,25=2,5.
3. 3 Đổi đơn vị từ cm² về cm.

Đáp án: s=2,5 cm.

Tự kiểm: 2,5²=6,25 và s không âm.

Ví dụ 4

Hai mẫu cùng đơn vị có trung bình bằng nhau và độ lệch chuẩn 1,8;2,6. So mức phân tán.

1. 1 Xác nhận cùng đơn vị và cách tính.
2. 2 So hai độ lệch chuẩn.
3. 3 Không suy nguyên nhân.

Đáp án: Mẫu thứ hai phân tán hơn theo độ lệch chuẩn.

Tự kiểm: 2,6>1,8; kết luận chỉ nói mức phân tán theo chỉ số này.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Chia cho n−1.
• Sai lầm cần tránh: Quên trọng số tần số.
• Sai lầm cần tránh: Ghi phương sai cùng đơn vị gốc.
• Sai lầm cần tránh: Lấy căn âm cho độ lệch chuẩn.