Toán lớp 12: Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian

Mục tiêu bài học

• Nhận biết được phương trình tham số, chính tắc và vectơ chỉ phương khác vectơ-không của đường thẳng.
• Thiết lập được phương trình đường thẳng qua điểm–vectơ chỉ phương hoặc qua hai điểm phân biệt.
• Chuyển/đọc được các dạng phương trình hợp lệ và kiểm tra điểm có thuộc đường thẳng hay không.
• Xác định được hai đường thẳng chéo, cắt, song song hoặc trùng; chỉ kết luận vuông góc khi hai đường cắt nhau và hai vectơ chỉ phương vuông góc.

Kiến thức cần nhớ

• Đường thẳng được xác định bởi một điểm và một vectơ chỉ phương khác 0.
• Dạng tham số luôn dùng được; dạng chính tắc chỉ viết các tỉ số có mẫu khác 0 hoặc xử lý tọa độ hằng riêng.
• Hai đường trong không gian có thể cắt, song song, trùng hoặc chéo nhau.
• Xét giao phải giải cùng một điểm với hai tham số, không chỉ so từng phương trình rời rạc.

Khởi động và dự đoán

• Khởi động: Viết đường qua A(1,2,−1) có chỉ phương (2,0,3). Hãy dự đoán kết quả, ghi điều kiện cần kiểm rồi mới xem lời giải.

Thuật ngữ và kí hiệu

t,s: tham số độc lập u⃗: chỉ phương khác 0 d₁,d₂: hai đường trong Oxyz

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
(x,y,z)=(x₀,y₀,z₀)+t(a,b,c)	u⃗=(a,b,c) khác 0; M₀ thuộc đường — t∈ℝ — Một hoặc hai thành phần u⃗ có thể bằng 0; tọa độ tương ứng là hằng.	Phương trình tham số của đường.
(x−x₀)/a=(y−y₀)/b=(z−z₀)/c	a,b,c đều khác 0 — các tỉ số xác định — Nếu thành phần bằng 0, không viết mẫu 0; giữ phương trình tọa độ hằng.	Dạng chính tắc tương đương dạng tham số.
d₁∥d₂ khi u⃗₁,u⃗₂ cùng phương và không có điểm chung	hai chỉ phương khác 0 — hai đường hợp lệ — Cùng phương và có điểm chung thì hai đường trùng.	Phân loại song song phân biệt.
d₁⊥d₂ ⇔ d₁,d₂ cắt nhau và u⃗₁·u⃗₂=0	hai vectơ chỉ phương khác 0 và đã xác nhận hai đường có điểm chung — hai đường hợp lệ trong Oxyz — Tích vô hướng bằng 0 mà hai đường không cắt nhau chỉ cho hai đường chéo nhau có hai hướng vuông góc.	Kết luận hai đường vuông góc.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Dạng nào an toàn khi chỉ phương có thành phần 0?
• Muốn kết luận hai đường cắt cần tìm gì?

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của từng công thức.
• Mỗi biến đổi phải chỉ ra là tương đương hay chỉ là hệ quả; trường hợp hệ quả phải thử lại.
• Đối chiếu từng bước với định nghĩa, điều kiện công thức và kết luận của bài.
• Kiểm trường hợp biên và đối chiếu bằng một cách độc lập trước khi kết luận.

Trường hợp biên cần nhớ

• Một hoặc hai thành phần u⃗ có thể bằng 0; tọa độ tương ứng là hằng.
• Nếu thành phần bằng 0, không viết mẫu 0; giữ phương trình tọa độ hằng.
• Cùng phương và có điểm chung thì hai đường trùng.
• Tích vô hướng bằng 0 mà hai đường không cắt nhau chỉ cho hai đường chéo nhau có hai hướng vuông góc.
• Ngoài phạm vi bài: vectơ chỉ phương bằng 0.
• Ngoài phạm vi bài: khoảng cách hai đường chéo nhau bằng tọa độ như nội dung bắt buộc.
• Ngoài phạm vi bài: tọa độ Plücker.
• Ngoài phạm vi bài: bỏ kiểm tra tham số chung khi xét giao.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Hai đường d₁ và d₂ ở ví dụ thứ ba không giao và có hai vectơ chỉ phương vuông góc; chúng vẫn chéo nhau, nên tích vô hướng bằng 0 chưa đủ để kết luận hai đường vuông góc.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Vận dụng kiến thức của bài “Phương trình đường thẳng trong không gian” trong một tình huống có dữ kiện, đơn vị và bước kiểm kết quả rõ ràng.

Minh họa trực quan

Đường thẳng qua hai điểm

Đường qua A,B có chỉ phương AB⃗=(1;2;3), khác vectơ-không.

A(0;1;2): [0,1,2]

B(1;3;5): [1,3,5]

d qua A và B

u⃗=AB⃗=(1;2;3)

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Viết đường qua A(1,2,−1) có chỉ phương (2,0,3).

1. 1 Dùng A+t u⃗.
2. 2 x=1+2t, y=2, z=−1+3t.
3. 3 Không viết tỉ số với mẫu 0.

Đáp án: d: (x,y,z)=(1,2,−1)+t(2,0,3).

Tự kiểm: t=0 cho A và chỉ phương khác 0.

Ví dụ 2

Lập đường qua A(0,1,2), B(1,3,5).

1. 1 AB⃗=(1,2,3).
2. 2 A≠B nên AB⃗ khác 0.
3. 3 Dùng A+tAB⃗.

Đáp án: (x,y,z)=(0,1,2)+t(1,2,3).

Tự kiểm: t=1 cho đúng B.

Ví dụ 3

d₁:(x,y,z)=(0,0,0)+t(1,0,0), d₂:(x,y,z)=(0,1,1)+s(0,1,0). Phân loại.

1. 1 Chỉ phương không cùng phương.
2. 2 Giải giao: z của d₁ luôn 0, z của d₂ luôn 1 nên không giao.
3. 3 Không cùng phương và không giao trong không gian.

Đáp án: Hai đường chéo nhau.

Tự kiểm: Lập luận loại cả song song và cắt.

Ví dụ 4

Đổi d: x=1+2t, y=−1+t, z=3−t sang dạng chính tắc.

1. 1 Chỉ phương (2,1,−1) có mọi thành phần khác 0.
2. 2 Giải t từ từng phương trình.
3. 3 Đặt các biểu thức bằng nhau.

Đáp án: (x−1)/2=(y+1)/1=(z−3)/(−1).

Tự kiểm: Thế x=1+2t,y=−1+t,z=3−t cho cả ba tỉ số bằng t.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Viết mẫu 0 trong dạng chính tắc.
• Sai lầm cần tránh: Dùng chỉ phương 0.
• Sai lầm cần tránh: Không giao thì kết luận song song.
• Sai lầm cần tránh: Chỉ kiểm tích vô hướng bằng 0 mà không kiểm hai đường có cắt nhau.