Toán lớp 12: Bài 16: Công thức tính góc trong không gian

Mục tiêu bài học

• Tính được góc giữa hai đường thẳng từ hai vectơ chỉ phương khác 0.
• Tính được góc giữa đường thẳng và mặt phẳng từ vectơ chỉ phương và pháp tuyến.
• Tính được góc giữa hai mặt phẳng từ hai vectơ pháp tuyến khác 0.
• Vận dụng được công thức góc vào tình huống Oxyz, chọn đúng góc quy ước và kiểm tra miền giá trị.

Kiến thức cần nhớ

• Góc quy ước giữa hai đường/hai mặt nằm trong [0,π/2]; dùng trị tuyệt đối để không phụ thuộc hướng vectơ đại diện.
• Góc đường–mặt là góc phụ với góc đường–pháp tuyến.
• Mọi chỉ phương/pháp tuyến tham gia công thức phải khác 0.
• Sau khi tính cos/sin phải kiểm giá trị thuộc [0,1] và chọn đúng miền góc.

Khởi động và dự đoán

• Khởi động: Hai đường có chỉ phương u⃗=(1,1,0), v⃗=(1,0,1). Tính cos góc. Hãy dự đoán kết quả, ghi điều kiện cần kiểm rồi mới xem lời giải.

Thuật ngữ và kí hiệu

θ: góc quy ước trong [0,π/2] u⃗: chỉ phương n⃗: pháp tuyến

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
cos(d₁,d₂)=|u⃗₁·u⃗₂|/(|u⃗₁||u⃗₂|)	u⃗₁,u⃗₂ khác 0 — góc trong [0,π/2] — Không bỏ trị tuyệt đối vì hướng chỉ phương có thể đảo.	Tính góc giữa hai đường.
sin(d,P)=|u⃗·n⃗|/(|u⃗||n⃗|)	u⃗ chỉ phương và n⃗ pháp tuyến đều khác 0 — góc trong [0,π/2] — Nếu tích bằng 0 thì đường song song hoặc nằm trong mặt và góc bằng 0.	Tính góc giữa đường và mặt.
cos(P,Q)=|n⃗_P·n⃗_Q|/(|n⃗_P||n⃗_Q|)	hai pháp tuyến khác 0 — góc trong [0,π/2] — Tích bằng 0 cho hai mặt vuông góc.	Tính góc giữa hai mặt.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Góc đường–mặt liên hệ thế nào với góc đường–pháp tuyến?
• Tại sao đảo hướng chỉ phương không đổi góc?

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của từng công thức.
• Mỗi biến đổi phải chỉ ra là tương đương hay chỉ là hệ quả; trường hợp hệ quả phải thử lại.
• Đối chiếu từng bước với định nghĩa, điều kiện công thức và kết luận của bài.
• Kiểm trường hợp biên và đối chiếu bằng một cách độc lập trước khi kết luận.

Trường hợp biên cần nhớ

• Không bỏ trị tuyệt đối vì hướng chỉ phương có thể đảo.
• Nếu tích bằng 0 thì đường song song hoặc nằm trong mặt và góc bằng 0.
• Tích bằng 0 cho hai mặt vuông góc.
• Ngoài phạm vi bài: góc định hướng tổng quát.
• Ngoài phạm vi bài: bỏ trị tuyệt đối.
• Ngoài phạm vi bài: dùng vectơ-không.
• Ngoài phạm vi bài: nhầm góc đường–mặt với góc đường–pháp tuyến.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Nếu thay u⃗ bằng −u⃗, hình học của đường không đổi; công thức không trị tuyệt đối lại cho cos đổi dấu, nên không thể là góc quy ước.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Vận dụng kiến thức của bài “Công thức tính góc trong không gian” trong một tình huống có dữ kiện, đơn vị và bước kiểm kết quả rõ ràng.

Minh họa trực quan

Góc giữa hai vectơ chỉ phương

Hai mũi tên chung gốc; trị tuyệt đối của tích vô hướng cho góc quy ước 60°.

O: [0,0,0]

u⃗=(1;1;0): [1,1,0]

v⃗=(1;0;1): [1,0,1]

u⃗·v⃗=1

|u⃗|=|v⃗|=√2

góc(u⃗,v⃗)=60°

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Hai đường có chỉ phương u⃗=(1,1,0), v⃗=(1,0,1). Tính cos góc.

1. 1 u⃗·v⃗=1.
2. 2 Hai độ dài đều √2.
3. 3 Lấy trị tuyệt đối và chia.

Đáp án: cosθ=1/2 nên θ=60°.

Tự kiểm: θ thuộc [0,90°].

Ví dụ 2

Đường d có chỉ phương (1,1,0), mặt P có pháp tuyến (0,1,0). Tính góc.

1. 1 |u⃗·n⃗|=1.
2. 2 |u⃗||n⃗|=√2.
3. 3 sinθ=1/√2.

Đáp án: θ=45°.

Tự kiểm: Góc đường–pháp tuyến cũng 45°, tổng 90°.

Ví dụ 3

P,Q có pháp tuyến (1,0,0), (1,1,0). Tính góc.

1. 1 Tích vô hướng bằng 1.
2. 2 Độ dài 1 và √2.
3. 3 cosθ=1/√2.

Đáp án: θ=45°.

Tự kiểm: Đảo dấu một pháp tuyến không đổi kết quả nhờ trị tuyệt đối.

Ví dụ 4

Một đường d có chỉ phương thẳng đứng (0,0,1), mặt sàn có pháp tuyến (0,0,1). Tính góc d với mặt sàn.

1. 1 u⃗ và n⃗ cùng hướng.
2. 2 sinθ=|u⃗·n⃗|/(|u⃗||n⃗|)=1.
3. 3 Chọn θ trong [0,90°].

Đáp án: θ=90°.

Tự kiểm: Đường thẳng đứng vuông góc mặt sàn, phù hợp ngữ cảnh.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Bỏ trị tuyệt đối.
• Sai lầm cần tránh: Dùng cos thay sin cho góc đường–mặt.
• Sai lầm cần tránh: Dùng vectơ 0.
• Sai lầm cần tránh: Chọn góc tù thay vì góc quy ước.