Toán lớp 12: Chuyên đề — Bài 2: Biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức và ứng dụng

Mục tiêu bài học

• Nhận biết được phép thử Bernoulli lặp với số lần cố định, hai kết quả, độc lập và xác suất thành công không đổi.
• Thiết lập và tính được xác suất đúng k lần thành công bằng công thức Bernoulli với tham số hợp lệ.
• Nhận biết được biến ngẫu nhiên nhị thức và diễn giải được tham số/kỳ vọng trong bối cảnh.
• Vận dụng được phân bố nhị thức vào bài toán thực tiễn, kể cả sự kiện ít nhất/nhiều nhất bằng phép cộng hoặc biến cố đối.

Kiến thức cần nhớ

• X~B(n,p) chỉ khi có n phép thử Bernoulli lặp, độc lập và cùng xác suất thành công p.
• Tham số cần n nguyên không âm, 0≤p≤1; số thành công k nguyên từ 0 đến n.
• Ít nhất/nhiều nhất được tính bằng tổng các xác suất điểm hoặc biến cố bù.
• Không dùng Poisson/xấp xỉ chuẩn hoặc mô hình p thay đổi.

Khởi động và dự đoán

• Khởi động: Lặp 5 lần một phép thử độc lập, xác suất thành công mỗi lần 0,2. Mô hình số lần thành công. Hãy dự đoán kết quả, ghi điều kiện cần kiểm rồi mới xem lời giải.

Thuật ngữ và kí hiệu

B(n,p): phân bố nhị thức k: số thành công q=1−p: xác suất không thành công

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
P(X=k)=C(n,k)p^k(1−p)^(n−k)	X~B(n,p); n∈ℕ, 0≤p≤1, k∈{0,…,n} — k nguyên trong đoạn — Ngoài 0≤k≤n thì xác suất bằng 0 theo mô hình, không thế tổ hợp vô nghĩa.	Xác suất đúng k thành công.
E(X)=np; Var(X)=np(1−p)	X~B(n,p) — n∈ℕ, 0≤p≤1 — p=0 hoặc 1 cho phương sai 0.	Các số đặc trưng của phân bố nhị thức.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Nêu đủ bốn giả thiết để dùng nhị thức.
• Khi nào biến cố bù giúp tính “ít nhất một”?

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của từng công thức.
• Mỗi biến đổi phải chỉ ra là tương đương hay chỉ là hệ quả; trường hợp hệ quả phải thử lại.
• Đối chiếu từng bước với định nghĩa, điều kiện công thức và kết luận của bài.
• Kiểm trường hợp biên và đối chiếu bằng một cách độc lập trước khi kết luận.

Trường hợp biên cần nhớ

• Ngoài 0≤k≤n thì xác suất bằng 0 theo mô hình, không thế tổ hợp vô nghĩa.
• p=0 hoặc 1 cho phương sai 0.
• Ngoài phạm vi bài: Poisson/xấp xỉ chuẩn.
• Ngoài phạm vi bài: xác suất thay đổi giữa phép thử.
• Ngoài phạm vi bài: không độc lập nhưng vẫn dùng nhị thức.
• Ngoài phạm vi bài: suy luận thống kê.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Rút hai thẻ không hoàn lại từ hộp không tạo hai phép thử độc lập với p không đổi; không tự gán B(2,p).

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Dùng mô hình của bài để phân tích một phương án thực tế; phải công khai giả định, đơn vị, giới hạn và rủi ro.

Minh họa trực quan

Phân bố B(4;0,5)

Năm xác suất điểm ứng với k=0,…,4; tổng bằng 1 và đối xứng qua k=2.

k=0

0.0625

k=1

0.25

k=2

0.375

k=3

0.25

k=4

0.0625

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Lặp 5 lần một phép thử độc lập, xác suất thành công mỗi lần 0,2. Mô hình số lần thành công.

1. 1 Số phép thử cố định n=5.
2. 2 Hai kết quả thành công/không; độc lập; p=0,2 không đổi.
3. 3 Kết luận phân bố.

Đáp án: X~B(5,0,2).

Tự kiểm: n nguyên và p thuộc [0,1].

Ví dụ 2

Với X~B(4,0,5), tính P(X=2).

1. 1 Dùng C(4,2)0,5²0,5².
2. 2 C(4,2)=6.
3. 3 Nhân được 6/16.

Đáp án: P(X=2)=3/8.

Tự kiểm: Phân bố đối xứng khi p=0,5; kết quả trong [0,1].

Ví dụ 3

Với X~B(3,0,2), tính P(X≥1).

1. 1 Dùng biến cố bù X=0.
2. 2 P(X=0)=0,8³=0,512.
3. 3 Lấy 1−0,512.

Đáp án: P(X≥1)=0,488.

Tự kiểm: Cộng P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) cho cùng kết quả.

Ví dụ 4

Với X~B(10,0,3), tính kỳ vọng và phương sai.

1. 1 E(X)=np=10·0,3.
2. 2 Var(X)=np(1−p)=10·0,3·0,7.
3. 3 Kiểm phương sai không âm.

Đáp án: E(X)=3; Var(X)=2,1.

Tự kiểm: p thuộc [0,1] và Var nhỏ hơn np=3.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Dùng nhị thức khi p thay đổi.
• Sai lầm cần tránh: Quên hệ số tổ hợp.
• Sai lầm cần tránh: Cho k không nguyên.
• Sai lầm cần tránh: Dùng xấp xỉ ngoài phạm vi bài.