Toán lớp 12: Chuyên đề — Bài 1: Biến ngẫu nhiên rời rạc và các số đặc trưng

Mục tiêu bài học

• Nhận biết được biến ngẫu nhiên rời rạc và phân bố xác suất của nó trong mô hình hữu hạn đơn giản.
• Lập, đọc và kiểm tra được bảng phân bố với ít giá trị, xác suất hợp lệ và tổng bằng 1.
• Tính được kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc.
• Giải thích và vận dụng được các số đặc trưng để so sánh phương án thực tiễn với giả định minh bạch.

Kiến thức cần nhớ

• Biến ngẫu nhiên rời rạc nhận hữu hạn hoặc đếm được giá trị trong phạm vi mô hình bài.
• Bảng phân bố hợp lệ cần mỗi xác suất trong [0,1] và tổng bằng 1.
• Kỳ vọng là trung bình có trọng số; phương sai không âm; độ lệch chuẩn là căn không âm.
• So sánh phương án phải nêu giới hạn mô hình, không biến thành tư vấn rủi ro.

Khởi động và dự đoán

• Khởi động: X nhận 0,1,2 với xác suất 0,2; p; 0,3. Tìm p. Hãy dự đoán kết quả, ghi điều kiện cần kiểm rồi mới xem lời giải.

Thuật ngữ và kí hiệu

E(X): kỳ vọng Var(X): phương sai σ_X: độ lệch chuẩn

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
E(X)=Σx_i p_i	p_i∈[0,1], Σp_i=1 — X rời rạc với các giá trị x_i — Kỳ vọng không nhất thiết là một giá trị X có thể nhận.	Tính kỳ vọng.
Var(X)=Σ(x_i−E(X))²p_i=E(X²)−[E(X)]²	phân bố hợp lệ và tổng hữu hạn — X rời rạc — Sai số làm kết quả âm nhỏ phải được xử lý theo quy tắc tính chính xác hoặc làm tròn đã nêu, không lấy căn âm.	Tính phương sai không âm.
σ_X=√Var(X)	Var(X)≥0 — căn không âm — Var=0 khi X hầu chắc chắn là hằng trong bảng hữu hạn.	Độ lệch chuẩn cùng đơn vị X.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Bảng phân bố cần hai kiểm tra hợp lệ nào?
• Đơn vị của Var và σ khác nhau thế nào?

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của từng công thức.
• Mỗi biến đổi phải chỉ ra là tương đương hay chỉ là hệ quả; trường hợp hệ quả phải thử lại.
• Đối chiếu từng bước với định nghĩa, điều kiện công thức và kết luận của bài.
• Kiểm trường hợp biên và đối chiếu bằng một cách độc lập trước khi kết luận.

Trường hợp biên cần nhớ

• Kỳ vọng không nhất thiết là một giá trị X có thể nhận.
• Sai số làm kết quả âm nhỏ phải được xử lý theo quy tắc tính chính xác hoặc làm tròn đã nêu, không lấy căn âm.
• Var=0 khi X hầu chắc chắn là hằng trong bảng hữu hạn.
• Ngoài phạm vi bài: biến ngẫu nhiên liên tục.
• Ngoài phạm vi bài: mật độ xác suất.
• Ngoài phạm vi bài: kỳ vọng có điều kiện.
• Ngoài phạm vi bài: quyết định rủi ro như tư vấn.

Phản ví dụ chống học máy móc

• X chỉ nhận 0 và 2 nhưng E(X)=1,5; kỳ vọng không bắt buộc thuộc tập giá trị của X.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Dùng mô hình của bài để phân tích một phương án thực tế; phải công khai giả định, đơn vị, giới hạn và rủi ro.

Minh họa trực quan

Phân bố xác suất của X

Chiều dài thanh biểu diễn xác suất; tổng phải bằng 1.

X=0

0.1

X=1

0.2

X=2

0.4

X=3

0.3

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

X nhận 0,1,2 với xác suất 0,2; p; 0,3. Tìm p.

1. 1 Tổng xác suất bằng 1.
2. 2 0,2+p+0,3=1.
3. 3 Suy p=0,5 và kiểm khoảng.

Đáp án: p=0,5.

Tự kiểm: Ba xác suất đều trong [0,1] và tổng đúng 1.

Ví dụ 2

X nhận 0,2 với xác suất 0,25;0,75. Tính E(X).

1. 1 Nhân từng giá trị với xác suất.
2. 2 0·0,25+2·0,75.
3. 3 Cộng.

Đáp án: E(X)=1,5.

Tự kiểm: 1,5 nằm giữa min 0 và max 2.

Ví dụ 3

Với phân bố ở ví dụ trước, tính Var(X).

1. 1 E(X)=1,5.
2. 2 E(X²)=0+4·0,75=3.
3. 3 Var=3−1,5².

Đáp án: Var(X)=0,75; σ=√0,75.

Tự kiểm: Phương sai dương; tính trực tiếp theo độ lệch cho cùng kết quả.

Ví dụ 4

X nhận 0,1,2 với xác suất 0,2;0,5;0,3. Tính P(X≥1).

1. 1 Các giá trị thỏa là 1 và 2.
2. 2 Cộng xác suất 0,5+0,3.
3. 3 Không cộng xác suất của X=0.

Đáp án: P(X≥1)=0,8.

Tự kiểm: Cũng bằng 1−P(X=0)=0,8.

Ví dụ 5

Hai phương án có cùng kỳ vọng 10, độ lệch chuẩn lần lượt 1 và 3. So độ biến động theo mô hình.

1. 1 Kỳ vọng bằng nhau nên không phân biệt theo trung tâm.
2. 2 So độ lệch chuẩn 1<3.
3. 3 Chỉ diễn giải mức biến động, không khuyến nghị lựa chọn.

Đáp án: Phương án thứ hai biến động lớn hơn theo độ lệch chuẩn trong mô hình.

Tự kiểm: Kết luận không vượt dữ kiện và không biến thành tư vấn rủi ro.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Bảng xác suất không tổng 1.
• Sai lầm cần tránh: Cho xác suất âm.
• Sai lầm cần tránh: Coi kỳ vọng luôn là giá trị có thể xảy ra.
• Sai lầm cần tránh: Đưa biến liên tục/mật độ vào bài.