Toán lớp 12: Chuyên đề — Bài 4: Vận dụng đạo hàm để giải quyết bài toán tối ưu

Mục tiêu bài học

• Thiết lập được biến, hàm mục tiêu, miền khả thi và giả định từ bài toán khoảng cách, thời gian hoặc kinh tế.
• Dùng được đạo hàm để xác định điểm tới hạn và chiều biến thiên trên miền khả thi.
• So sánh được điểm tới hạn với biên/ràng buộc để chọn phương án tối ưu.
• Diễn giải và kiểm tra được kết quả theo giả định, đơn vị, miền và tính khả thi của mô hình đã nêu.

Kiến thức cần nhớ

• Chuyên đề này đào sâu quy trình mô hình–đạo hàm–biên–diễn giải, nhưng vẫn chỉ xét một biến.
• Miền khả thi và đơn vị được khóa trước khi đạo hàm.
• Mọi điểm tới hạn phải so với biên và kiểm tính khả thi.
• Kết quả là kết luận trong mô hình, không là khuyến nghị kinh doanh.

Khởi động và dự đoán

• Khởi động: Một hình chữ nhật có chu vi 20. Đặt cạnh x, lập hàm diện tích và miền. Hãy dự đoán kết quả, ghi điều kiện cần kiểm rồi mới xem lời giải.

Thuật ngữ và kí hiệu

D: miền khả thi D°: nội miền giá trị tối ưu: giá trị nhỏ nhất hoặc lớn nhất theo mục tiêu

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
Giá trị tối ưu của F trên D nằm trong tập giá trị tại biên hợp lệ và điểm tới hạn trong D	F liên tục trên miền đóng phù hợp và khả vi ở nội điểm cần xét — D là miền mô hình một biến — Miền mở/không bị chặn cần xét giới hạn và khả năng đạt.	So sánh đầy đủ ứng viên để lấy giá trị tối ưu.
F'(x)=0	x ở nội miền và F khả vi — x∈D° — Không đủ để kết luận min/max nếu chưa xét dấu/giá trị/biên.	Chỉ tạo ứng viên tối ưu.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Điểm tới hạn có vai trò gì?
• Kết luận mô hình cần nêu giới hạn nào?

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của từng công thức.
• Mỗi biến đổi phải chỉ ra là tương đương hay chỉ là hệ quả; trường hợp hệ quả phải thử lại.
• Đối chiếu từng bước với định nghĩa, điều kiện công thức và kết luận của bài.
• Kiểm trường hợp biên và đối chiếu bằng một cách độc lập trước khi kết luận.

Trường hợp biên cần nhớ

• Miền mở/không bị chặn cần xét giới hạn và khả năng đạt.
• Không đủ để kết luận min/max nếu chưa xét dấu/giá trị/biên.
• Ngoài phạm vi bài: tối ưu nhiều biến.
• Ngoài phạm vi bài: nhân tử Lagrange.
• Ngoài phạm vi bài: khuyến nghị kinh doanh thực tế.
• Ngoài phạm vi bài: bỏ miền/đơn vị.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Trên [0,1], F(x)=x có giá trị lớn nhất tại biên x=1 dù F'(x)=1 không bao giờ bằng 0.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Dùng mô hình của bài để phân tích một phương án thực tế; phải công khai giả định, đơn vị, giới hạn và rủi ro.

Minh họa trực quan

Hàm mục tiêu trên miền đóng

So điểm tới hạn x=3 với hai biên 1 và 5 của F=−x²+6x.

Bảng điểm dùng để dựng Hàm mục tiêu trên miền đóng

Dãy	x	y
F=−x²+6x	1	5
F=−x²+6x	2	8
F=−x²+6x	3	9
F=−x²+6x	4	8
F=−x²+6x	5	5

F=−x²+6x

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Một hình chữ nhật có chu vi 20. Đặt cạnh x, lập hàm diện tích và miền.

1. 1 Cạnh kia là 10−x.
2. 2 Hai cạnh dương cho 0<x<10.
3. 3 S=x(10−x).

Đáp án: S(x)=10x−x², 0<x<10.

Tự kiểm: Tổng hai cạnh là 10 và S có đơn vị bình phương.

Ví dụ 2

Tìm max của F(x)=−x²+6x trên [1,5].

1. 1 F'=−2x+6=0 cho x=3.
2. 2 Tính F(1)=5,F(3)=9,F(5)=5.
3. 3 So cả biên.

Đáp án: max F=9 tại x=3; min F=5 tại x=1 hoặc 5.

Tự kiểm: Đủ ba ứng viên của đoạn.

Ví dụ 3

Mô hình lợi ích L(x) đạt max tại x=4 trong miền 0≤x≤6. Hãy phát biểu kết luận an toàn.

1. 1 Nêu giá trị biến và miền mô hình.
2. 2 Gắn đúng đơn vị nếu đề cung cấp.
3. 3 Nêu phụ thuộc giả định, không cam kết ngoài mô hình.

Đáp án: Theo các giả định và miền 0≤x≤6 của mô hình, phương án x=4 tối đa hóa L; cần đánh giá lại nếu dữ kiện/giả định đổi.

Tự kiểm: Không chứa lời khuyên hay cam kết kết quả thực tế.

Ví dụ 4

Phân tích F(x)=x³−3x trên [−2,2].

1. 1 F'=3(x²−1), các điểm tới hạn −1,1.
2. 2 Dấu đạo hàm +,−,+ trên ba khoảng.
3. 3 Kết hợp biên để chuẩn bị so giá trị tối ưu.

Đáp án: F tăng trên [−2,−1], giảm trên [−1,1], tăng trên [1,2]; ứng viên là −2,−1,1,2.

Tự kiểm: Danh sách gồm đủ điểm tới hạn trong miền và hai biên.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Bỏ biên.
• Sai lầm cần tránh: Không ghi miền/đơn vị.
• Sai lầm cần tránh: Coi f'=0 là đủ.
• Sai lầm cần tránh: Biến mô hình thành khuyến nghị.