Toán lớp 12: Chuyên đề — Bài 5: Tiền tệ và lãi suất

Mục tiêu bài học

• Nhận biết và sử dụng đúng đơn vị tiền tệ, tỷ giá hoặc giá trị theo thời gian trong mô hình giáo dục đơn giản.
• Tính được lãi đơn/lãi kép và số tiền theo kỳ với lãi suất, kỳ hạn được nêu rõ.
• Tính và diễn giải được giá trị thực hoặc lãi suất thực trong trường hợp có lạm phát theo mô hình đã cho.
• So sánh được các kịch bản lãi suất với cùng mốc thời gian, phí/giả định và quy tắc làm tròn minh bạch.

Kiến thức cần nhớ

• Mọi lãi suất phải gắn kỳ; số kỳ và lãi suất cần cùng đơn vị thời gian.
• Lãi đơn tính trên vốn gốc; lãi kép tái đầu tư số dư theo từng kỳ.
• So sánh các phương án tại cùng thời điểm, tiền tệ, phí/lạm phát đã nêu và giả định.
• Bài học chỉ mô hình hóa, không khuyến nghị gửi tiền/đầu tư hay cam kết lợi nhuận.

Khởi động và dự đoán

• Khởi động: P=10 triệu, lãi đơn 0,5%/tháng trong 6 tháng. Tính A. Hãy dự đoán kết quả, ghi điều kiện cần kiểm rồi mới xem lời giải.

Thuật ngữ và kí hiệu

P: vốn ban đầu A: giá trị cuối kỳ r: lãi suất mỗi kỳ n: số kỳ

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
A=P(1+nr)	lãi đơn; P≥0; n số kỳ; r lãi suất mỗi kỳ — n≥0 theo mô hình — Nếu đơn vị r và n khác nhau phải quy đổi trước.	Giá trị cuối kỳ không nhập lãi vào gốc.
A=P(1+r)^n	lãi kép theo kỳ; P≥0; r>−1; n nguyên không âm trong mô hình rời rạc — cùng kỳ ghép lãi — Phí hoặc rút tiền giữa kỳ làm công thức này không còn đủ.	Giá trị sau n kỳ.
giá trị thực = giá trị danh nghĩa/(1+i)^n	i là tỉ lệ lạm phát giả định mỗi kỳ, i>−1 — cùng mốc thời gian — Không coi i cố định là dự báo thực tế.	Quy đổi sức mua theo mô hình.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Trước công thức lãi kép cần kiểm hai đơn vị nào?
• Vì sao so sánh phải cùng thời điểm?

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của từng công thức.
• Mỗi biến đổi phải chỉ ra là tương đương hay chỉ là hệ quả; trường hợp hệ quả phải thử lại.
• Đối chiếu từng bước với định nghĩa, điều kiện công thức và kết luận của bài.
• Kiểm trường hợp biên và đối chiếu bằng một cách độc lập trước khi kết luận.

Trường hợp biên cần nhớ

• Nếu đơn vị r và n khác nhau phải quy đổi trước.
• Phí hoặc rút tiền giữa kỳ làm công thức này không còn đủ.
• Không coi i cố định là dự báo thực tế.
• Ngoài phạm vi bài: khuyến nghị gửi tiền/đầu tư.
• Ngoài phạm vi bài: cam kết lợi nhuận.
• Ngoài phạm vi bài: bỏ lạm phát/phí khi đề đã cho.
• Ngoài phạm vi bài: trộn lãi suất năm và kỳ.

Phản ví dụ chống học máy móc

• 12%/năm không tự bằng 1%/tháng theo lãi kép hiệu dụng; quy ước chuyển đổi phải được nêu.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Dùng mô hình của bài để phân tích một phương án thực tế; phải công khai giả định, đơn vị, giới hạn và rủi ro.

Minh họa trực quan

Kịch bản lãi kép giả định

Các điểm là giá trị cuối kỳ với r=4%; đây không phải dữ liệu thị trường hay cam kết lợi nhuận.

Bảng điểm dùng để dựng Kịch bản lãi kép giả định

Dãy	x	y
100·1,04ⁿ	0	100
100·1,04ⁿ	1	104
100·1,04ⁿ	2	108.16
100·1,04ⁿ	3	112.4864
100·1,04ⁿ	4	116.985856

100·1,04ⁿ

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

P=10 triệu, lãi đơn 0,5%/tháng trong 6 tháng. Tính A.

1. 1 r=0,005 mỗi tháng, n=6.
2. 2 A=10(1+6·0,005).
3. 3 Tính 10,3.

Đáp án: 10,3 triệu đồng.

Tự kiểm: Lãi 0,3 triệu bằng 10·0,005·6.

Ví dụ 2

P=10 triệu, lãi kép 1%/kỳ trong 2 kỳ. Tính A.

1. 1 r=0,01,n=2.
2. 2 A=10(1,01)².
3. 3 Tính 10,201.

Đáp án: 10,201 triệu đồng.

Tự kiểm: Sau kỳ 1 là 10,1; kỳ 2 cộng 0,101.

Ví dụ 3

Phương án A tăng 5% trong một năm; B tăng 2,4% mỗi nửa năm, ghép hai kỳ. So hệ số cuối năm, bỏ qua phí.

1. 1 A có hệ số 1,05.
2. 2 B có hệ số 1,024²=1,048576.
3. 3 So tại cùng mốc.

Đáp án: Trong mô hình, A có hệ số cao hơn rất nhỏ: 1,05>1,048576.

Tự kiểm: Đã cùng mốc một năm và cùng giả định không phí; không chuyển thành khuyến nghị.

Ví dụ 4

Giá trị danh nghĩa sau 2 kỳ là 121, lạm phát giả định 10% mỗi kỳ. Tính giá trị thực theo mốc đầu.

1. 1 Hệ số giá là 1,1²=1,21.
2. 2 Chia 121 cho 1,21.
3. 3 Nêu đây là mô hình theo i cố định.

Đáp án: Giá trị thực bằng 100 đơn vị tiền theo mốc đầu.

Tự kiểm: 100·1,21=121; không coi lạm phát 10% là dự báo.

Ví dụ 5

Theo tỉ giá giả định của bài 1 đơn vị A=25 đơn vị B, đổi 8 A sang B.

1. 1 Nhân số đơn vị A với 25 B/A.
2. 2 8·25=200.
3. 3 Rút gọn đơn vị A.

Đáp án: 200 đơn vị B theo tỉ giá giả định.

Tự kiểm: 200/25=8; không mô tả đây là tỉ giá thị trường hiện thời.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Trộn lãi suất năm với số tháng.
• Sai lầm cần tránh: Cộng r nhiều kỳ trong lãi kép.
• Sai lầm cần tránh: So số tiền ở hai mốc khác nhau.
• Sai lầm cần tránh: Đưa lời khuyên tài chính.