Toán lớp 10: Bài 3: Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Mục tiêu bài học

• Nhận biết được bất phương trình bậc nhất hai ẩn với hai hệ số không đồng thời bằng 0.
• Kiểm tra được một cặp số và biểu diễn được miền nghiệm trên mặt phẳng tọa độ.
• Lập được một bất phương trình để mô tả ràng buộc thực tế.

Kiến thức cần nhớ

• Bất phương trình bậc nhất hai ẩn có dạng ax+by≤c (hoặc <, >, ≥), trong đó a và b không đồng thời bằng 0.
• Một cặp (x₀;y₀) là nghiệm khi thay vào làm mệnh đề bất đẳng thức đúng.
• Đường thẳng ax+by=c chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng; thử một điểm không nằm trên đường biên để chọn phía nghiệm.
• Dấu ≤ hoặc ≥ lấy cả đường biên; dấu < hoặc > không lấy đường biên và thường được vẽ nét đứt.
• Khi mô hình hóa số lượng, thời gian hoặc khối lượng cần bổ sung miền thực tế như x≥0, y≥0.
• ax+by≤c ((a,b)≠(0,0)): Một dạng bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
• ax₀+by₀≤c ((x₀;y₀) là điểm cần kiểm tra): Tiêu chuẩn kiểm tra một điểm thuộc miền nghiệm.

Khởi động và dự đoán

• Một sản phẩm dùng x giờ máy A và y giờ máy B; ràng buộc “không quá 8 giờ” được viết thế nào?

Thuật ngữ và kí hiệu

bất phương trình bậc nhất hai ẩn đường biên nửa mặt phẳng miền nghiệm

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
ax+by≤c	(a,b)≠(0,0)	Một dạng bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
ax₀+by₀≤c	(x₀;y₀) là điểm cần kiểm tra	Tiêu chuẩn kiểm tra một điểm thuộc miền nghiệm.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra: em còn nhớ Bất phương trình bậc nhất một ẩn không? Hãy nêu một ví dụ.
• Tự kiểm tra: em còn nhớ Đường thẳng và mặt phẳng tọa độ không? Hãy nêu một ví dụ.

Trường hợp biên cần nhớ

• Nếu điểm O nằm trên đường biên thì phải chọn điểm thử khác.
• Khi a=0 hoặc b=0, đường biên vẫn hợp lệ và song song một trục.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Bất phương trình 0x+0y≤3 đúng với mọi điểm nhưng không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn theo định nghĩa.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Mô tả giới hạn ngân sách, nguyên liệu hoặc thời gian bằng một miền nửa mặt phẳng.

Minh họa trực quan

Minh họa trọng tâm — Bài 3

Điểm thử	2x+y	So với 4	Thuộc miền?
O(0;0)	0	0≤4	Có
A(3;0)	6	6≤4	Không

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Kiểm tra các điểm A(1;2), B(3;−1), C(0;3) đối với bất phương trình 2x+y≤5.

1. 1 Thay A: 2·1+2=4≤5.
2. 2 Thay B: 2·3−1=5≤5.
3. 3 Thay C: 2·0+3=3≤5; kết luận cả ba điểm đều là nghiệm.

Đáp án: Cả A, B và C đều là nghiệm.

Tự kiểm: Thay từng cặp tọa độ vào vế trái lần lượt được 4, 5, 3; cả ba giá trị đều không vượt quá 5.

Ví dụ 2

Mô tả cách biểu diễn miền nghiệm của 2x−3y<6 trên mặt phẳng tọa độ.

1. 1 Vẽ đường biên qua (3;0) và (0;−2) bằng nét đứt.
2. 2 Thử O(0;0): 0<6 đúng.
3. 3 Tô phía chứa O, không lấy đường biên.

Đáp án: Vẽ nét đứt 2x−3y=6 và tô nửa mặt phẳng chứa O.

Tự kiểm: O không nằm trên biên và cho 0<6 nên phía chứa O là miền nghiệm.

Ví dụ 3

Một xưởng làm x bàn và y ghế; mỗi bàn dùng 4 m² gỗ, mỗi ghế dùng 1,5 m², kho có tối đa 120 m². Lập bất phương trình và điều kiện thực tế.

1. 1 Biểu diễn gỗ cho bàn là 4x và cho ghế là 1,5y.
2. 2 Dùng “tối đa” nên đặt dấu ≤.
3. 3 Bổ sung điều kiện không âm và nguyên.

Đáp án: 4x+1,5y≤120; x≥0, y≥0; nếu đếm sản phẩm thì x,y nguyên.

Tự kiểm: Tổng gỗ sử dụng không vượt lượng có sẵn.

Lỗi sai thường gặp

• Tô phía đối diện dù điểm thử cho kết quả đúng.
• Vẽ đường biên liền cho bất phương trình có dấu chặt.
• Bỏ điều kiện không âm trong bài toán thực tế.
• Tự kiểm bằng phản ví dụ: Bất phương trình 0x+0y≤3 đúng với mọi điểm nhưng không phải bất phương trình bậc nhất hai ẩn theo định nghĩa.

Bài luyện thêm

• Miền nghiệm x−y≥0 là nửa mặt phẳng nào?
• Với 2x+y>4, điểm O(0;0) thuộc phía nghiệm không?
• Mua x vé 50 nghìn và y vé 30 nghìn, ngân sách không quá 600 nghìn. Ràng buộc đúng là gì?
• Bất phương trình nào không được coi là bậc nhất hai ẩn theo định nghĩa?
• Kiểm tra các điểm A(1;2), B(3;−1), C(0;3) đối với bất phương trình 2x+y≤5.
• Mô tả cách biểu diễn miền nghiệm của 2x−3y<6 trên mặt phẳng tọa độ.