Toán lớp 10: Bài 4: Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

Mục tiêu bài học

• Biểu diễn được miền nghiệm của hệ như giao các nửa mặt phẳng.
• Lập được hệ ràng buộc từ bài toán thực tế, kể cả điều kiện không âm khi phù hợp.
• Tìm được cực trị của biểu thức tuyến tính trên miền đa giác và diễn giải kết quả.

Kiến thức cần nhớ

• Miền nghiệm của hệ là giao các miền nghiệm thành phần, vì một điểm phải đồng thời thỏa mọi ràng buộc.
• Miền nghiệm thường là một đa giác lồi, có thể không bị chặn hoặc có thể rỗng.
• Đỉnh miền đa giác được tìm từ giao các đường biên rồi phải kiểm tra lại toàn bộ hệ.
• Nếu miền khả thi là đa giác bị chặn, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức tuyến tính đạt tại ít nhất một đỉnh.
• Kết quả tối ưu phải được diễn giải cùng đơn vị, điều kiện nguyên và ý nghĩa thực tế; không chỉ ghi tọa độ.
• F(x,y)=px+qy ((x,y) thuộc miền khả thi): Hàm mục tiêu tuyến tính.
• Fmax/min ∈ {F(A₁),…,F(Aₙ)} (Miền khả thi là đa giác bị chặn có các đỉnh Aᵢ): So sánh giá trị tại các đỉnh.

Khởi động và dự đoán

• Một kế hoạch phải đồng thời thỏa giới hạn vốn, giờ công và số lượng: miền khả thi là hợp hay giao các miền?

Thuật ngữ và kí hiệu

hệ bất phương trình miền khả thi đỉnh hàm mục tiêu tối ưu tuyến tính

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
F(x,y)=px+qy	(x,y) thuộc miền khả thi	Hàm mục tiêu tuyến tính.
Fmax/min ∈ {F(A₁),…,F(Aₙ)}	Miền khả thi là đa giác bị chặn có các đỉnh Aᵢ	So sánh giá trị tại các đỉnh.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra: em còn nhớ Bất phương trình bậc nhất hai ẩn không? Hãy nêu một ví dụ.
• Tự kiểm tra: em còn nhớ Giao của các tập hợp không? Hãy nêu một ví dụ.

Trường hợp biên cần nhớ

• Miền rỗng nghĩa là mô hình không có phương án khả thi.
• Miền không bị chặn có thể vẫn có cực trị theo một hướng, nên phải phân tích thay vì áp dụng máy móc quy tắc đỉnh.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Hai đường biên cắt nhau tại A nhưng A vi phạm ràng buộc thứ ba thì A không phải đỉnh của miền khả thi.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Lập kế hoạch sản xuất để tối đa lợi nhuận dưới các giới hạn nguyên liệu và thời gian.

Minh họa trực quan

Minh họa trọng tâm — Bài 4

Đỉnh	x	y	F=3x+2y
O	0	0	0
A	4	0	12
B	8/3	8/3	40/3
C	0	4	8

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Xác định các đỉnh của miền x≥0, y≥0, x+2y≤8, 2x+y≤8.

1. 1 Tìm giao với Ox, Oy và giao x+2y=8 với 2x+y=8.
2. 2 Kiểm từng giao điểm thỏa toàn bộ hệ.
3. 3 Sắp các đỉnh theo biên miền.

Đáp án: (0;0), (4;0), (8/3;8/3), (0;4).

Tự kiểm: Giao hai đường xiên là (8/3;8/3), cùng các giao điểm phù hợp trên hai trục.

Ví dụ 2

Trên miền ở câu trước, tìm giá trị lớn nhất của F=3x+2y.

1. 1 Tính F(0,0)=0 và F(4,0)=12.
2. 2 Tính F(8/3,8/3)=40/3 và F(0,4)=8.
3. 3 So sánh: 40/3 lớn nhất tại (8/3;8/3).

Đáp án: Fmax=40/3 tại (8/3;8/3).

Tự kiểm: Tính F tại bốn đỉnh được 0, 12, 40/3, 8; giá trị lớn nhất là 40/3.

Ví dụ 3

Một xưởng làm A và B. Mỗi A cần 2 giờ máy, 1 giờ lắp; mỗi B cần 1 giờ máy, 2 giờ lắp. Có 8 giờ cho mỗi công đoạn. Lợi nhuận lần lượt 3 và 4 triệu. Lập mô hình tối ưu.

1. 1 Đặt x,y là số sản phẩm A,B.
2. 2 Lập hai ràng buộc thời gian và điều kiện không âm.
3. 3 Lập hàm mục tiêu P=3x+4y và nêu yêu cầu tối đa.

Đáp án: Tối đa P=3x+4y với 2x+y≤8, x+2y≤8, x,y≥0 (và nguyên nếu là số sản phẩm).

Tự kiểm: Mỗi nguồn lực tạo một ràng buộc, lợi nhuận tạo hàm mục tiêu.

Lỗi sai thường gặp

• Lấy hợp thay vì giao các nửa mặt phẳng.
• Đưa mọi giao điểm đường biên vào bảng mà không kiểm miền.
• Bỏ qua điều kiện số lượng phải nguyên.
• Tự kiểm bằng phản ví dụ: Hai đường biên cắt nhau tại A nhưng A vi phạm ràng buộc thứ ba thì A không phải đỉnh của miền khả thi.

Bài luyện thêm

• Trên tam giác có đỉnh (0;0),(4;0),(0;3), F=2x+y đạt lớn nhất ở đâu?
• Muốn tìm cực trị biểu thức tuyến tính trên một đa giác bị chặn, thao tác cốt lõi là gì?
• Hệ nào vô nghiệm?
• Bài toán tối ưu cho phương án (2,5;3) nhưng x là số máy nguyên. Kết luận đúng là gì?
• Xác định các đỉnh của miền x≥0, y≥0, x+2y≤8, 2x+y≤8.
• Trên miền ở câu trước, tìm giá trị lớn nhất của F=3x+2y.