Toán lớp 10: Bài 6: Hệ thức lượng trong tam giác

Mục tiêu bài học

• Giải thích và vận dụng được định lí côsin, định lí sin.
• Vận dụng được các công thức tính diện tích tam giác với điều kiện phù hợp.
• Giải được tam giác và bài toán đo khoảng cách hoặc chiều cao gián tiếp.

Kiến thức cần nhớ

• Trong tam giác ABC, cạnh a, b, c lần lượt đối diện các góc A, B, C; ghép đúng cặp cạnh–góc là điều bắt buộc.
• Định lí côsin mở rộng định lí Pythagore và thuận lợi khi biết hai cạnh cùng góc xen giữa hoặc biết ba cạnh.
• Định lí sin liên hệ ba tỉ số cạnh trên sin góc đối diện và bán kính đường tròn ngoại tiếp.
• Diện tích có thể tính từ hai cạnh và góc xen giữa, từ ba cạnh theo Heron, hoặc qua bán kính nội/ngoại tiếp.
• Giải tam giác phải kiểm A+B+C=180°, bất đẳng thức tam giác và khả năng có hai nghiệm ở dữ kiện cạnh–cạnh–góc không xen giữa.
• a²=b²+c²−2bc cosA (ABC là tam giác; a đối diện A): Định lí côsin.
• a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R (ABC là tam giác; R là bán kính ngoại tiếp): Định lí sin.
• S=½bc sinA (b, c kề góc A): Diện tích từ hai cạnh và góc xen giữa.
• S=√[p(p−a)(p−b)(p−c)] (a,b,c lập thành tam giác; p=(a+b+c)/2): Công thức Heron.

Khởi động và dự đoán

• Biết hai cạnh và góc xen giữa thì công thức nào cho cạnh còn lại trực tiếp nhất?

Thuật ngữ và kí hiệu

giải tam giác định lí côsin định lí sin nửa chu vi bán kính ngoại tiếp bán kính nội tiếp

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
a²=b²+c²−2bc cosA	ABC là tam giác; a đối diện A	Định lí côsin.
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R	ABC là tam giác; R là bán kính ngoại tiếp	Định lí sin.
S=½bc sinA	b, c kề góc A	Diện tích từ hai cạnh và góc xen giữa.
S=√[p(p−a)(p−b)(p−c)]	a,b,c lập thành tam giác; p=(a+b+c)/2	Công thức Heron.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra: em còn nhớ Giá trị lượng giác của góc từ 0° đến 180° không? Hãy nêu một ví dụ.
• Tự kiểm tra: em còn nhớ Định lí Pythagore và các trường hợp bằng nhau của tam giác không? Hãy nêu một ví dụ.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì đánh dấu để thử nghiệm cuối.
• Viện dẫn đúng định nghĩa, tính chất hoặc định lí; không suy từ hình vẽ hay vài ví dụ.
• Kiểm trường hợp biên và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• Nếu sinB=k với 0<k<1, có thể có B và 180°−B; phải kiểm tổng góc.
• Ba số chỉ tạo tam giác khi tổng hai cạnh bất kỳ lớn hơn cạnh còn lại.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Dữ kiện a=2, b=3, c=6 không tạo thành tam giác nên không được đưa vào công thức Heron.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Đo khoảng cách qua chướng ngại bằng một cạnh chuẩn và hai góc quan sát.

Minh họa trực quan

Minh họa trọng tâm — Bài 6

Giải tam giác và đo gián tiếp

Dữ kiện trên hình

a đối diện A b đối diện B c đối diện C S=½bc sinA

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Tam giác có b=7 cm, c=9 cm, A=60°. Tính a.

1. 1 Xác định b,c là hai cạnh kề góc A.
2. 2 Áp dụng định lí côsin để được a²=67.
3. 3 Lấy căn dương và làm tròn nếu cần.

Đáp án: a=√67 cm≈8,19 cm.

Tự kiểm: a²=49+81−2·7·9·1/2=67.

Ví dụ 2

Tam giác có ba cạnh 5 cm, 5 cm, 6 cm. Tính diện tích bằng công thức Heron.

1. 1 Kiểm tra ba cạnh lập thành tam giác và tính p=8.
2. 2 Thay vào công thức Heron.
3. 3 Kết luận S=12 cm².

Đáp án: S=12 cm².

Tự kiểm: p=8; S=√[8·3·3·2]=√144=12.

Ví dụ 3

Cho A=45°, B=60°, a=8 cm. Tính C và b, làm tròn b đến 0,01 cm.

1. 1 Tính C=180°−45°−60°=75°.
2. 2 Dùng b/sin60°=8/sin45°.
3. 3 Tính b=4√6 và làm tròn.

Đáp án: C=75°; b=8sin60°/sin45°=4√6≈9,80 cm.

Tự kiểm: Tổng ba góc bằng 180° rồi áp dụng định lí sin.

Lỗi sai thường gặp

• Ghép cạnh a với sinB.
• Dùng S=½ab sinC nhưng a,b không kề góc C.
• Làm tròn trung gian quá sớm hoặc bỏ trường hợp tam giác thứ hai.
• Tự kiểm bằng phản ví dụ: Dữ kiện a=2, b=3, c=6 không tạo thành tam giác nên không được đưa vào công thức Heron.

Bài luyện thêm

• Công thức Heron dùng được trực tiếp khi biết dữ kiện nào?
• Bộ ba nào không thể là độ dài ba cạnh tam giác?
• Biết a, b và góc A không xen giữa có thể xảy ra điều gì?
• Nếu a=10 và A=30° thì bán kính ngoại tiếp R bằng gì?
• Tam giác có b=7 cm, c=9 cm, A=60°. Tính a.
• Tam giác có ba cạnh 5 cm, 5 cm, 6 cm. Tính diện tích bằng công thức Heron.