Toán lớp 10: Bài 8: Tổng và hiệu của hai vectơ

Mục tiêu bài học

• Dựng và tính được tổng vectơ bằng quy tắc ba điểm và hình bình hành.
• Sử dụng được vectơ đối để thực hiện phép trừ vectơ.
• Rút gọn và chứng minh được một số đẳng thức vectơ hình học.

Kiến thức cần nhớ

• Quy tắc ba điểm: nối điểm đầu của vectơ thứ nhất với điểm cuối của vectơ thứ hai khi đầu–cuối khớp nhau.
• Quy tắc hình bình hành cộng hai vectơ cùng điểm đầu bằng đường chéo xuất phát từ điểm đó.
• Vectơ đối của a có cùng độ dài và ngược hướng; hiệu a−b được định nghĩa là a+(−b).
• Phép cộng vectơ có tính giao hoán, kết hợp và có phần tử không là vectơ-không.
• Các tổng dạng AB+BC+CD có thể rút gọn liên tiếp theo đường gấp khúc.
• AB+BC=AC (A, B, C là ba điểm bất kỳ): Quy tắc ba điểm.
• a−b=a+(−b) (a, b là hai vectơ): Định nghĩa hiệu vectơ.
• AB+CD=AD+CB (A, B, C, D là các điểm): Một đẳng thức suy từ quy tắc ba điểm.

Khởi động và dự đoán

• Đi từ A đến B rồi từ B đến C tạo độ dời tổng nào?

Thuật ngữ và kí hiệu

tổng vectơ quy tắc ba điểm quy tắc hình bình hành vectơ đối hiệu vectơ

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
AB+BC=AC	A, B, C là ba điểm bất kỳ	Quy tắc ba điểm.
a−b=a+(−b)	a, b là hai vectơ	Định nghĩa hiệu vectơ.
AB+CD=AD+CB	A, B, C, D là các điểm	Một đẳng thức suy từ quy tắc ba điểm.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra: em còn nhớ Khái niệm vectơ, vectơ bằng nhau và vectơ-không không? Hãy nêu một ví dụ.
• Tự kiểm tra: em còn nhớ Hình bình hành không? Hãy nêu một ví dụ.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì đánh dấu để thử nghiệm cuối.
• Viện dẫn đúng định nghĩa, tính chất hoặc định lí; không suy từ hình vẽ hay vài ví dụ.
• Kiểm trường hợp biên và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• a+(−a)=0.
• Tổng hai vectơ ngược hướng có thể là vectơ-không nếu độ dài bằng nhau.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Nếu A,B,C không thẳng hàng thì |AB+BC|=|AC|, không bằng AB+BC nói chung.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Tổng hợp hai lực đồng quy hoặc nhiều chặng độ dời.

Minh họa trực quan

Minh họa trọng tâm — Bài 8

Thực hiện tổng và hiệu vectơ

Dữ kiện trên hình

AB+AD=AC AB+BC=AC a−b=a+(−b)

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Rút gọn AB+BC+CD+DE.

1. 1 AB+BC=AC.
2. 2 AC+CD=AD.
3. 3 AD+DE=AE.

Đáp án: AE.

Tự kiểm: Áp dụng quy tắc ba điểm dọc theo đường gấp khúc A-B-C-D-E.

Ví dụ 2

Chứng minh với ba điểm A,B,C: AB−AC=CB.

1. 1 Đổi −AC thành CA.
2. 2 Dùng giao hoán để viết CA+AB.
3. 3 Áp dụng quy tắc ba điểm C-A-B.

Đáp án: AB−AC=AB+CA=CA+AB=CB.

Tự kiểm: Dùng định nghĩa hiệu, tính giao hoán và quy tắc ba điểm.

Ví dụ 3

Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh AC=AB+AD.

1. 1 Xác định hai vectơ cùng điểm đầu A.
2. 2 Dùng D là đỉnh thứ tư của hình bình hành.
3. 3 Áp dụng quy tắc hình bình hành.

Đáp án: Theo quy tắc hình bình hành, đường chéo AC là tổng hai vectơ cạnh AB và AD.

Tự kiểm: Hai vectơ AB, AD cùng điểm đầu A và hai cạnh kề của hình bình hành.

Lỗi sai thường gặp

• Cộng độ dài thay cho cộng vectơ.
• Đảo thứ tự điểm khi tạo vectơ đối.
• Dùng quy tắc ba điểm khi điểm cuối–đầu không khớp mà không biến đổi.
• Tự kiểm bằng phản ví dụ: Nếu A,B,C không thẳng hàng thì |AB+BC|=|AC|, không bằng AB+BC nói chung.

Bài luyện thêm

• AB−AC bằng gì?
• Tổng AB+BA bằng gì?
• Biểu thức MA+AB+BN rút gọn thành gì?
• Trong hình bình hành ABCD, biểu thức AB+CD bằng gì?
• Rút gọn AB+BC+CD+DE.
• Chứng minh với ba điểm A,B,C: AB−AC=CB.