Toán lớp 10: Bài 9: Tích của một vectơ với một số

Mục tiêu bài học

• Mô tả được hướng và độ dài của tích một số với vectơ.
• Vận dụng được điều kiện cùng phương để kiểm tra ba điểm thẳng hàng.
• Mô tả được trung điểm, trọng tâm và phân tích vectơ theo hai vectơ không cùng phương.

Kiến thức cần nhớ

• Với k≠0, vectơ ka cùng hướng a nếu k>0, ngược hướng a nếu k<0 và có độ dài |k|·|a|.
• Khi k=0 hoặc a=0, tích ka là vectơ-không.
• Hai vectơ khác không cùng phương khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho a=kb.
• Ba điểm A,B,C thẳng hàng khi AB và AC cùng phương; hệ số còn cho biết vị trí tương đối nếu phân tích dấu.
• Trung điểm I của AB thỏa IA+IB=0; trọng tâm G của ABC thỏa GA+GB+GC=0.
• |ka|=|k|·|a| (k là số thực, a là vectơ): Độ dài của tích.
• a=kb (a,b khác vectơ-không): Điều kiện cùng phương.
• GA+GB+GC=0 (G là trọng tâm tam giác ABC): Đẳng thức vectơ của trọng tâm.

Khởi động và dự đoán

• Nhân một vectơ với −2 làm độ dài và hướng thay đổi ra sao?

Thuật ngữ và kí hiệu

tích của số với vectơ cùng phương thẳng hàng trung điểm trọng tâm phân tích vectơ

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
|ka|=|k|·|a|	k là số thực, a là vectơ	Độ dài của tích.
a=kb	a,b khác vectơ-không	Điều kiện cùng phương.
GA+GB+GC=0	G là trọng tâm tam giác ABC	Đẳng thức vectơ của trọng tâm.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra: em còn nhớ Tổng, hiệu và vectơ đối không? Hãy nêu một ví dụ.
• Tự kiểm tra: em còn nhớ Tỉ số và trung điểm không? Hãy nêu một ví dụ.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì đánh dấu để thử nghiệm cuối.
• Viện dẫn đúng định nghĩa, tính chất hoặc định lí; không suy từ hình vẽ hay vài ví dụ.
• Kiểm trường hợp biên và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• 0a=0 và k0=0.
• Cùng phương chưa đủ kết luận cùng hướng; phải xét dấu k.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Từ AB=−2AC suy ra ba điểm thẳng hàng, nhưng B và C nằm ở hai phía của A chứ không cùng phía.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Xác định điểm chia đoạn, trọng tâm và cân bằng các vectơ lực.

Minh họa trực quan

Minh họa trọng tâm — Bài 9

|ka|=|k|·|a| | k là số thực, a là vectơ

a=kb | a,b khác vectơ-không

GA+GB+GC=0 | G là trọng tâm tam giác ABC

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Cho b=−3a và |a|=2. Nêu hướng tương đối và tính |b|.

1. 1 Xét dấu −3 để kết luận hướng.
2. 2 Dùng |b|=|−3|·|a|.
3. 3 Tính |b|=3·2=6.

Đáp án: b ngược hướng a; |b|=6.

Tự kiểm: Hệ số −3 âm và có trị tuyệt đối 3.

Ví dụ 2

Cho AB=−2AC. Chứng minh A,B,C thẳng hàng và mô tả vị trí B,C đối với A.

1. 1 Hai vectơ AB, AC khác không và AB=−2AC nên cùng phương.
2. 2 Suy ra A,B,C thẳng hàng.
3. 3 Hệ số âm cho biết ngược hướng; trị tuyệt đối 2 cho tỉ lệ độ dài.

Đáp án: Ba điểm thẳng hàng; B và C nằm khác phía đối với A; AB=2AC về độ dài.

Tự kiểm: AB là bội của AC với hệ số âm.

Ví dụ 3

I là trung điểm AB. Chứng minh với mọi điểm M: MA+MB=2MI.

1. 1 Viết MA=MI+IA và MB=MI+IB.
2. 2 Cộng hai đẳng thức.
3. 3 Dùng IA+IB=0 vì I là trung điểm.

Đáp án: MA+MB=(MI+IA)+(MI+IB)=2MI.

Tự kiểm: Do IA+IB=0 nên hai phần còn lại triệt tiêu.

Lỗi sai thường gặp

• Quên đổi hướng khi k âm.
• Dùng điều kiện a=kb nhưng b=0.
• Viết hệ số trọng tâm là 1/2 thay vì 1/3.
• Tự kiểm bằng phản ví dụ: Từ AB=−2AC suy ra ba điểm thẳng hàng, nhưng B và C nằm ở hai phía của A chứ không cùng phía.

Bài luyện thêm

• Nếu AB=2AC thì vị trí nào đúng?
• I là trung điểm AB khi và chỉ khi đẳng thức nào đúng?
• G là trọng tâm tam giác ABC. Đẳng thức nào đúng?
• Nếu a=−1/2 b với b≠0 thì quan hệ nào đúng?
• Cho b=−3a và |a|=2. Nêu hướng tương đối và tính |b|.
• Cho AB=−2AC. Chứng minh A,B,C thẳng hàng và mô tả vị trí B,C đối với A.