Toán lớp 10: Bài 10: Vectơ trong mặt phẳng tọa độ

Mục tiêu bài học

• Tìm được tọa độ của điểm, vectơ và độ dài vectơ từ hai đầu mút.
• Thực hiện được các phép toán vectơ bằng tọa độ.
• Tìm được trung điểm, trọng tâm và điểm chia đoạn trong trường hợp phù hợp.

Kiến thức cần nhớ

• Trong hệ trục Oxy, vectơ a được biểu diễn bởi cặp tọa độ (a₁;a₂) theo hai vectơ đơn vị.
• Nếu A(xA;yA), B(xB;yB) thì AB=(xB−xA;yB−yA).
• Cộng, trừ và nhân số với vectơ được thực hiện theo từng tọa độ.
• Độ dài vectơ (u;v) là √(u²+v²); khoảng cách AB là độ dài của AB.
• Tọa độ trung điểm là trung bình hai đầu mút; tọa độ trọng tâm là trung bình ba đỉnh.
• AB=(xB−xA;yB−yA) (A(xA;yA), B(xB;yB)): Tọa độ vectơ từ A đến B.
• |a|=√(a₁²+a₂²) (a=(a₁;a₂)): Độ dài vectơ.
• I((xA+xB)/2;(yA+yB)/2) (I là trung điểm AB): Tọa độ trung điểm.
• G((xA+xB+xC)/3;(yA+yB+yC)/3) (G là trọng tâm ABC): Tọa độ trọng tâm.

Khởi động và dự đoán

• Với A(1;−2), B(4;3), tọa độ AB lấy “cuối trừ đầu” hay ngược lại?

Thuật ngữ và kí hiệu

tọa độ vectơ vectơ đơn vị độ dài vectơ trung điểm trọng tâm

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
AB=(xB−xA;yB−yA)	A(xA;yA), B(xB;yB)	Tọa độ vectơ từ A đến B.
|a|=√(a₁²+a₂²)	a=(a₁;a₂)	Độ dài vectơ.
I((xA+xB)/2;(yA+yB)/2)	I là trung điểm AB	Tọa độ trung điểm.
G((xA+xB+xC)/3;(yA+yB+yC)/3)	G là trọng tâm ABC	Tọa độ trọng tâm.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra: em còn nhớ Tích của số với vectơ không? Hãy nêu một ví dụ.
• Tự kiểm tra: em còn nhớ Hệ trục tọa độ Oxy không? Hãy nêu một ví dụ.

Trường hợp biên cần nhớ

• Hai điểm trùng nhau cho vectơ-không.
• Điểm chia trong và chia ngoài có công thức khác nhau, cần xác định vị trí trước.

Phản ví dụ chống học máy móc

• AB=(3;5) nhưng BA=(−3;−5); hai vectơ không thể có cùng tọa độ nếu A≠B.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Tính độ dời trên bản đồ tọa độ và vị trí điểm chia một tuyến đường.

Minh họa trực quan

Minh họa trọng tâm — Bài 10

Đối tượng	Công thức	Ví dụ
AB	(xB−xA;yB−yA)	A(1;2), B(4;6) → (3;4)
Độ dài	√(u²+v²)	(3;4) → 5
Trung điểm	trung bình tọa độ	(1;2),(5;4) → (3;3)

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Cho A(2;−3), B(−1;5). Tính AB, BA và độ dài AB.

1. 1 Tính AB=(−1−2;5−(−3))=(−3;8).
2. 2 Đổi dấu để có BA=(3;−8).
3. 3 Tính √[9+64]=√73.

Đáp án: AB=(−3;8), BA=(3;−8), AB=√73.

Tự kiểm: Tọa độ vectơ lấy cuối trừ đầu; hai vectơ đối nhau.

Ví dụ 2

Cho a=(2;1), b=(−1;3). Tính 2a−3b.

1. 1 Tính riêng 2a và 3b.
2. 2 Trừ theo từng tọa độ.
3. 3 Kiểm lại (4−(−3);2−9)=(7;−7).

Đáp án: (7;−7).

Tự kiểm: 2a=(4;2), 3b=(−3;9), nên 2a−3b=(7;−7).

Ví dụ 3

Biết trung điểm I(2;−1) của AB và A(−3;4). Tìm B.

1. 1 Dùng (xA+xB)/2=2.
2. 2 Dùng (yA+yB)/2=−1.
3. 3 Giải được xB=7, yB=−6.

Đáp án: B(7;−6).

Tự kiểm: Từ xB=2xI−xA, yB=2yI−yA.

Lỗi sai thường gặp

• Lấy tọa độ điểm đầu trừ điểm cuối.
• Chỉ thực hiện phép toán ở một tọa độ.
• Quên căn bậc hai khi tính độ dài.
• Tự kiểm bằng phản ví dụ: AB=(3;5) nhưng BA=(−3;−5); hai vectơ không thể có cùng tọa độ nếu A≠B.

Bài luyện thêm

• Hai vectơ (2;3) và (4;6) có quan hệ gì?
• Trung điểm của A(−2;1), B(4;5) là gì?
• Trọng tâm tam giác có đỉnh (0;0),(6;0),(0;3) là gì?
• Khoảng cách giữa A(1;2), B(4;6) bằng bao nhiêu?
• Cho A(2;−3), B(−1;5). Tính AB, BA và độ dài AB.
• Cho a=(2;1), b=(−1;3). Tính 2a−3b.