Toán lớp 10: Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Mục tiêu bài học

• Xác định được góc giữa hai vectơ khác không.
• Tính được tích vô hướng bằng định nghĩa hình học và tọa độ.
• Vận dụng được tích vô hướng để kiểm tra vuông góc, tính độ dài và giải bài toán thực tiễn.

Kiến thức cần nhớ

• Góc giữa hai vectơ khác không được chọn trong đoạn từ 0° đến 180° sau khi đưa chúng về cùng điểm đầu.
• Tích vô hướng a·b là một số, bằng |a||b|cos(a,b).
• Theo tọa độ, (a₁;a₂)·(b₁;b₂)=a₁b₁+a₂b₂.
• Hai vectơ khác không vuông góc khi và chỉ khi tích vô hướng bằng 0.
• Tích vô hướng giúp tính góc, độ dài, hình chiếu và công của lực không đổi.
• a·b=|a||b|cos(a,b) (a,b khác vectơ-không khi cần xác định góc): Định nghĩa tích vô hướng.
• a·b=a₁b₁+a₂b₂ (a=(a₁;a₂), b=(b₁;b₂)): Công thức tọa độ.
• a⊥b ⇔ a·b=0 (a,b đều khác vectơ-không): Điều kiện vuông góc.
• |a|²=a·a (a là vectơ bất kỳ): Liên hệ tích vô hướng và độ dài.

Khởi động và dự đoán

• Hai lực vuông góc có tích vô hướng bằng bao nhiêu?

Thuật ngữ và kí hiệu

góc giữa hai vectơ tích vô hướng vuông góc hình chiếu

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
a·b=|a||b|cos(a,b)	a,b khác vectơ-không khi cần xác định góc	Định nghĩa tích vô hướng.
a·b=a₁b₁+a₂b₂	a=(a₁;a₂), b=(b₁;b₂)	Công thức tọa độ.
a⊥b ⇔ a·b=0	a,b đều khác vectơ-không	Điều kiện vuông góc.
|a|²=a·a	a là vectơ bất kỳ	Liên hệ tích vô hướng và độ dài.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra: em còn nhớ Giá trị lượng giác từ 0° đến 180° không? Hãy nêu một ví dụ.
• Tự kiểm tra: em còn nhớ Tọa độ và phép toán vectơ không? Hãy nêu một ví dụ.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì đánh dấu để thử nghiệm cuối.
• Viện dẫn đúng định nghĩa, tính chất hoặc định lí; không suy từ hình vẽ hay vài ví dụ.
• Kiểm trường hợp biên và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• Nếu một vectơ bằng 0 thì tích bằng 0 nhưng góc với vectơ đó không xác định.
• Với hai vectơ khác không, tích vô hướng âm tương ứng 90°<φ≤180°; phải giữ trường hợp biên φ=180°.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Từ a·b=0 không được nói hai vectơ tạo góc 90° nếu một trong hai là vectơ-không.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Tính công A=F·s của lực không đổi hoặc kiểm tra hai hướng vuông góc.

Minh họa trực quan

Minh họa trọng tâm — Bài 11

a·b=|a||b|cos(a,b) | a,b khác vectơ-không khi cần xác định góc

a·b=a₁b₁+a₂b₂ | a=(a₁;a₂), b=(b₁;b₂)

a⊥b ⇔ a·b=0 | a,b đều khác vectơ-không

|a|²=a·a | a là vectơ bất kỳ

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Cho a=(3;−2), b=(1;4). Tính a·b và góc là nhọn, vuông hay tù.

1. 1 Tính 3·1+(−2)·4=−5.
2. 2 Hai vectơ đều khác 0.
3. 3 Vì tích âm nên góc giữa chúng tù.

Đáp án: a·b=−5; góc tù.

Tự kiểm: Tích âm nên cos góc âm.

Ví dụ 2

Tìm m để a=(m;2) vuông góc b=(3;−6).

1. 1 Lập điều kiện tích vô hướng bằng 0.
2. 2 Giải 3m−12=0.
3. 3 Kiểm a=(4;2) khác 0 và tích bằng 0.

Đáp án: m=4.

Tự kiểm: a·b=3m−12=0.

Ví dụ 3

Tính góc giữa a=(1;0) và b=(1;√3).

1. 1 Tính a·b=1.
2. 2 Tính |a|=1, |b|=2.
3. 3 Suy ra cosφ=1/2 và φ=60°.

Đáp án: 60°.

Tự kiểm: cosφ=1/(1·2)=1/2.

Lỗi sai thường gặp

• Coi tích vô hướng là một vectơ.
• Chia cho |a||b| khi có vectơ-không.
• Quên chọn góc nhỏ hơn hoặc bằng 180°.
• Tự kiểm bằng phản ví dụ: Từ a·b=0 không được nói hai vectơ tạo góc 90° nếu một trong hai là vectơ-không.

Bài luyện thêm

• Nếu a·a=49 thì |a| bằng gì?
• Kết quả của tích vô hướng hai vectơ là gì?
• Nếu a·b<0 với a,b khác 0 thì góc φ giữa chúng thuộc khoảng nào?
• Lực 10 N cùng hướng độ dời 5 m sinh công bao nhiêu?
• Cho a=(3;−2), b=(1;4). Tính a·b và góc là nhọn, vuông hay tù.
• Tìm m để a=(m;2) vuông góc b=(3;−6).