Toán lớp 10: Bài 13: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Mục tiêu bài học

• Tính được số trung bình, trung vị, tứ phân vị và mốt của mẫu không ghép nhóm.
• Giải thích được ý nghĩa và chọn được số đặc trưng phù hợp với dữ liệu.
• Phát hiện và lí giải được dữ liệu hoặc biểu diễn không hợp lí trong trường hợp đơn giản.

Kiến thức cần nhớ

• Trước khi tính trung vị và tứ phân vị phải sắp dữ liệu theo thứ tự không giảm.
• Số trung bình dùng toàn bộ dữ liệu nhưng nhạy với giá trị ngoại lệ; trung vị ít bị ảnh hưởng hơn.
• Mốt là giá trị xuất hiện nhiều nhất; mẫu có thể không có mốt hoặc có nhiều mốt.
• Tứ phân vị Q1, Q2, Q3 chia dữ liệu đã sắp thành bốn phần; Q2 chính là trung vị.
• Chọn số đại diện phải dựa vào dạng phân bố, ngoại lệ và câu hỏi thực tế, không chỉ dựa vào tính toán.
• x̄=(x₁+⋯+xₙ)/n (n>0): Số trung bình cộng.
• x̄=(n₁x₁+⋯+nₖxₖ)/(n₁+⋯+nₖ) (nᵢ là tần số, tổng tần số >0): Trung bình có tần số.

Khởi động và dự đoán

• Một mức lương cực lớn có thể làm số trung bình đại diện kém cho nhóm như thế nào?

Thuật ngữ và kí hiệu

số trung bình trung vị tứ phân vị mốt ngoại lệ số đo xu thế trung tâm

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
x̄=(x₁+⋯+xₙ)/n	n>0	Số trung bình cộng.
x̄=(n₁x₁+⋯+nₖxₖ)/(n₁+⋯+nₖ)	nᵢ là tần số, tổng tần số >0	Trung bình có tần số.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra: em còn nhớ Thu thập và sắp xếp dữ liệu không? Hãy nêu một ví dụ.
• Tự kiểm tra: em còn nhớ Trung bình cộng ở THCS không? Hãy nêu một ví dụ.

Trường hợp biên cần nhớ

• Với cỡ mẫu chẵn, trung vị là trung bình hai giá trị giữa.
• Quy ước tính Q1, Q3 phải thống nhất với tài liệu đang dùng.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Dữ liệu 5,5,6,6,100 có trung bình 24,4 nhưng trung vị 6; nói “mức điển hình là 24,4” dễ gây hiểu sai.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Chọn số đo phù hợp để tóm tắt điểm số, thu nhập hoặc thời gian chờ.

Minh họa trực quan

Minh họa trọng tâm — Bài 13

5

5

6

6

100

Trung bình cộng: 24.4

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Cho dữ liệu 2,3,3,5,7. Tính trung bình, trung vị và mốt.

1. 1 Tính x̄=20/5=4.
2. 2 Dữ liệu đã sắp, số giữa là 3.
3. 3 3 xuất hiện hai lần nên là mốt.

Đáp án: Trung bình 4; trung vị 3; mốt 3.

Tự kiểm: Tổng bằng 20, cỡ mẫu 5; số giữa và giá trị lặp nhiều nhất đều là 3.

Ví dụ 2

Theo quy ước bỏ trung vị khi chia hai nửa, tìm Q1,Q2,Q3 của 1,2,4,6,8,10,12.

1. 1 Tìm Q2=6.
2. 2 Xét nửa dưới 1,2,4 để có Q1=2.
3. 3 Xét nửa trên 8,10,12 để có Q3=10.

Đáp án: Q1=2, Q2=6, Q3=10.

Tự kiểm: Trung vị là 6; trung vị hai nửa 1,2,4 và 8,10,12 lần lượt là 2,10.

Ví dụ 3

So sánh dữ liệu A: 6,6,7,7,8 và B: 6,6,7,7,80. Số đo nào thay đổi mạnh nhất và số nào ổn định?

1. 1 Tính hoặc quan sát trung vị hai mẫu đều 7.
2. 2 Tính trung bình A=6,8 và B=21,2.
3. 3 Kết luận về độ nhạy với ngoại lệ.

Đáp án: Trung bình thay đổi mạnh; trung vị vẫn bằng 7.

Tự kiểm: Ngoại lệ 80 tác động trực tiếp tới tổng nhưng không đổi vị trí giữa.

Lỗi sai thường gặp

• Không sắp dữ liệu trước khi tìm trung vị.
• Mặc nhiên cho rằng chỉ có một mốt.
• Luôn chọn trung bình dù mẫu có ngoại lệ mạnh.
• Tự kiểm bằng phản ví dụ: Dữ liệu 5,5,6,6,100 có trung bình 24,4 nhưng trung vị 6; nói “mức điển hình là 24,4” dễ gây hiểu sai.

Bài luyện thêm

• Q2 của một mẫu bằng số đo nào?
• Dữ liệu 5,6,6,7,100 nên ưu tiên số nào mô tả mức điển hình?
• Biểu đồ có trục tung bắt đầu từ 98 để so 99 và 100 có nguy cơ gì?
• Giá trị 6 xuất hiện 2 lần, giá trị 9 xuất hiện 3 lần. Trung bình là gì?
• Cho dữ liệu 2,3,3,5,7. Tính trung bình, trung vị và mốt.
• Theo quy ước bỏ trung vị khi chia hai nửa, tìm Q1,Q2,Q3 của 1,2,4,6,8,10,12.