Toán lớp 10: Bài 14: Các số đặc trưng đo độ phân tán

Mục tiêu bài học

• Tính được khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu không ghép nhóm.
• Tính được phương sai và độ lệch chuẩn theo định nghĩa của SGK.
• So sánh được độ phân tán và nhận biết ngoại lệ đơn giản.

Kiến thức cần nhớ

• Khoảng biến thiên là hiệu lớn nhất–nhỏ nhất, dễ tính nhưng phụ thuộc mạnh vào hai giá trị biên.
• Khoảng tứ phân vị IQR=Q3−Q1 mô tả độ rộng của nửa giữa dữ liệu và ít nhạy với ngoại lệ.
• Phương sai là trung bình bình phương độ lệch so với trung bình; độ lệch chuẩn là căn bậc hai phương sai.
• Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với dữ liệu, còn phương sai có đơn vị bình phương.
• Quy tắc hộp thường xem giá trị ngoài [Q1−1,5IQR; Q3+1,5IQR] là ngoại lệ tiềm năng.
• R=xmax−xmin (Mẫu không rỗng): Khoảng biến thiên.
• IQR=Q3−Q1 (Q1,Q3 theo cùng một quy ước tứ phân vị): Khoảng tứ phân vị.
• s²=[Σ(xᵢ−x̄)²]/n (Mẫu gồm n>0 số liệu không ghép nhóm): Phương sai theo định nghĩa dùng trong chương trình.
• s=√s² (s²≥0): Độ lệch chuẩn.

Khởi động và dự đoán

• Hai lớp có cùng điểm trung bình nhưng lớp nào ổn định hơn cần thêm số đo nào?

Thuật ngữ và kí hiệu

khoảng biến thiên khoảng tứ phân vị phương sai độ lệch chuẩn ngoại lệ biểu đồ hộp

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
R=xmax−xmin	Mẫu không rỗng	Khoảng biến thiên.
IQR=Q3−Q1	Q1,Q3 theo cùng một quy ước tứ phân vị	Khoảng tứ phân vị.
s²=[Σ(xᵢ−x̄)²]/n	Mẫu gồm n>0 số liệu không ghép nhóm	Phương sai theo định nghĩa dùng trong chương trình.
s=√s²	s²≥0	Độ lệch chuẩn.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra: em còn nhớ Trung vị và tứ phân vị không? Hãy nêu một ví dụ.
• Tự kiểm tra: em còn nhớ Trung bình cộng và bình phương số thực không? Hãy nêu một ví dụ.

Trường hợp biên cần nhớ

• Mọi số liệu bằng nhau thì các số đo phân tán bằng 0.
• Tiêu chuẩn 1,5IQR chỉ đánh dấu ngoại lệ tiềm năng, không tự động chứng minh dữ liệu sai.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Hai mẫu cùng trung bình 7 nhưng độ lệch chuẩn khác nhau thì mức độ đồng đều khác nhau.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• So sánh độ ổn định kết quả học tập hoặc độ đồng đều của một quy trình đo.

Minh họa trực quan

Minh họa trọng tâm — Bài 14

Mốc	Giá trị	Ý nghĩa
Min	2	nhỏ nhất
Q1	4	25%
Median	7	50%
Q3	11	75%
Max	16	lớn nhất

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Cho dữ liệu 1,2,3,4,5,6,7. Theo quy ước bỏ trung vị, tính R và IQR.

1. 1 Tính R=7−1.
2. 2 Tìm Q1=2 và Q3=6.
3. 3 Tính IQR=6−2=4.

Đáp án: R=6; IQR=4.

Tự kiểm: Q1=2, Q3=6 nên IQR=4; R=7−1=6.

Ví dụ 2

Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu 1,3,5.

1. 1 Tính x̄=3.
2. 2 Tính tổng bình phương độ lệch 8 và chia n=3.
3. 3 Lấy căn để có độ lệch chuẩn.

Đáp án: s²=8/3; s=√(8/3)≈1,63.

Tự kiểm: Trung bình 3; bình phương độ lệch là 4,0,4.

Ví dụ 3

Với Q1=20, Q3=28, kiểm tra 42 có là ngoại lệ tiềm năng theo quy tắc 1,5IQR không.

1. 1 Tính IQR=8.
2. 2 Tính hàng rào trên 40.
3. 3 So sánh 42>40 và kết luận là ngoại lệ tiềm năng.

Đáp án: Có.

Tự kiểm: IQR=8; ngưỡng trên 28+12=40; 42>40.

Lỗi sai thường gặp

• Nhầm phương sai với độ lệch chuẩn.
• Quên bình phương độ lệch hoặc lấy căn từng số hạng.
• So sánh phương sai mà bỏ qua đơn vị dữ liệu.
• Tự kiểm bằng phản ví dụ: Hai mẫu cùng trung bình 7 nhưng độ lệch chuẩn khác nhau thì mức độ đồng đều khác nhau.

Bài luyện thêm

• Nếu dữ liệu đo bằng cm thì độ lệch chuẩn có đơn vị gì?
• Nếu dữ liệu đo bằng kg thì phương sai có đơn vị gì?
• Q1=10, Q3=18. Theo quy tắc 1,5IQR, ngưỡng trên là gì?
• Hai lớp cùng điểm trung bình; lớp A có độ lệch chuẩn nhỏ hơn. Điều gì hợp lí?
• Cho dữ liệu 1,2,3,4,5,6,7. Theo quy ước bỏ trung vị, tính R và IQR.
• Tính phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu 1,3,5.