Toán lớp 10: Bài 16: Hàm số bậc hai

Mục tiêu bài học

• Thiết lập được bảng giá trị và vẽ được parabol của hàm số bậc hai.
• Nhận biết được đỉnh, trục đối xứng, chiều mở và tính chất qua đồ thị.
• Vận dụng được hàm số bậc hai và đồ thị vào bài toán thực tế.

Kiến thức cần nhớ

• Hàm số bậc hai có dạng y=ax²+bx+c với a≠0; đồ thị là parabol.
• Trục đối xứng có phương trình x=−b/(2a), đỉnh I có hoành độ −b/(2a) và tung độ −Δ/(4a).
• Nếu a>0, parabol mở lên và đỉnh cho giá trị nhỏ nhất; nếu a<0, parabol mở xuống và đỉnh cho giá trị lớn nhất.
• Hàm nghịch biến rồi đồng biến khi a>0; thứ tự đổi lại khi a<0, với mốc tại hoành độ đỉnh.
• Vẽ đồ thị cần đỉnh, trục, giao trục và một số cặp điểm đối xứng; không nối điểm bằng các đoạn gấp khúc.
• xI=−b/(2a); yI=−Δ/(4a) (a≠0; Δ=b²−4ac): Tọa độ đỉnh parabol.
• x=−b/(2a) (a≠0): Trục đối xứng.
• f(x)=a(x−xI)²+yI (a≠0): Dạng đỉnh, thuận lợi để đọc cực trị.

Khởi động và dự đoán

• Dấu của hệ số a cho biết parabol mở lên hay mở xuống?

Thuật ngữ và kí hiệu

hàm bậc hai parabol đỉnh trục đối xứng chiều mở giá trị lớn nhất giá trị nhỏ nhất

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
xI=−b/(2a); yI=−Δ/(4a)	a≠0; Δ=b²−4ac	Tọa độ đỉnh parabol.
x=−b/(2a)	a≠0	Trục đối xứng.
f(x)=a(x−xI)²+yI	a≠0	Dạng đỉnh, thuận lợi để đọc cực trị.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra: em còn nhớ Khái niệm hàm số và đồ thị không? Hãy nêu một ví dụ.
• Tự kiểm tra: em còn nhớ Phương trình bậc hai ở lớp 9 không? Hãy nêu một ví dụ.

Trường hợp biên cần nhớ

• Khi Δ=0, đỉnh nằm trên trục Ox.
• Miền thực tế có thể làm cực trị của mô hình khác cực trị trên toàn ℝ.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Với y=−x²+4, giá trị lớn nhất là 4; không phải giá trị nhỏ nhất vì parabol mở xuống.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Mô hình quỹ đạo, doanh thu hoặc diện tích phụ thuộc một biến trong miền hợp lí.

Minh họa trực quan

Minh họa trọng tâm — Bài 16

Khảo sát trực quan và mô hình hóa bằng hàm số bậc hai

Dữ kiện trên hình

đỉnh I trục x=−b/(2a) a>0: mở lên a<0: mở xuống

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Lập các đặc trưng để vẽ y=x²−2x−3.

1. 1 Tính trục và đỉnh.
2. 2 Giải x²−2x−3=0 để tìm giao Ox; cho x=0 để tìm giao Oy.
3. 3 Nêu chiều mở và dùng các điểm đối xứng để vẽ.

Đáp án: Đỉnh I(1;−4), trục x=1, mở lên, cắt Ox tại x=−1,3 và cắt Oy tại −3.

Tự kiểm: Hoàn thành bình phương y=(x−1)²−4 và giải giao trục.

Ví dụ 2

Tìm giá trị lớn nhất của f(x)=−2x²+8x−1 trên ℝ.

1. 1 Hoàn thành bình phương.
2. 2 Vì −2(x−2)²≤0 nên f(x)≤7.
3. 3 Dấu bằng khi x=2.

Đáp án: Giá trị lớn nhất 7 tại x=2.

Tự kiểm: f(x)=−2(x−2)²+7.

Ví dụ 3

Nêu khoảng đồng biến, nghịch biến của f(x)=−x²−6x+2.

1. 1 Tính hoành độ đỉnh −3.
2. 2 Xét a<0 nên hàm tăng trước đỉnh.
3. 3 Kết luận hai khoảng.

Đáp án: Đồng biến trên (−∞;−3), nghịch biến trên (−3;+∞).

Tự kiểm: Trục x=−b/(2a)=−3 và parabol mở xuống.

Lỗi sai thường gặp

• Tính hoành độ đỉnh sai dấu.
• Cho rằng a là tung độ giao trục Oy.
• Vẽ parabol bằng đường gấp khúc qua bảng điểm.
• Tự kiểm bằng phản ví dụ: Với y=−x²+4, giá trị lớn nhất là 4; không phải giá trị nhỏ nhất vì parabol mở xuống.

Bài luyện thêm

• Giá trị nhỏ nhất của f(x)=2(x+1)²−3 trên ℝ là gì?
• Đồ thị y=x²−4 cắt trục Ox tại đâu?
• Hàm y=x² giảm trên khoảng nào?
• Hàm h(t)=−5t²+20t+1 đạt cực đại tại t bằng bao nhiêu?
• Lập các đặc trưng để vẽ y=x²−2x−3.
• Tìm giá trị lớn nhất của f(x)=−2x²+8x−1 trên ℝ.