Toán lớp 10: Bài 17: Dấu của tam thức bậc hai

Mục tiêu bài học

• Giải thích được định lí về dấu của tam thức bậc hai từ đồ thị.
• Lập được bảng xét dấu trong đủ ba trường hợp của biệt thức.
• Giải được bất phương trình bậc hai và bài toán thực tế phù hợp.

Kiến thức cần nhớ

• Tam thức bậc hai f(x)=ax²+bx+c có a≠0; dấu của nó liên hệ với vị trí đồ thị so với trục Ox.
• Nếu Δ<0, f(x) luôn cùng dấu với a; nếu Δ=0, f(x) cùng dấu a và bằng 0 tại nghiệm kép.
• Nếu Δ>0 với x1<x2, f(x) cùng dấu a ngoài [x1;x2] và trái dấu a trong (x1;x2).
• Giải bất phương trình cần lập bảng xét dấu hoặc diễn giải bằng đồ thị rồi chọn đúng đầu mút theo dấu chặt/không chặt.
• Tích và thương nhiều nhân tử có thể xét dấu theo các mốc, nhưng mẫu số luôn phải loại khỏi tập nghiệm.
• Δ=b²−4ac (a≠0): Phân loại số nghiệm của tam thức.
• f(x) cùng dấu a ngoài, trái dấu a trong (Δ>0, x1<x2 là hai nghiệm): Định lí dấu tam thức.
• f(x)=a(x−x0)² (Δ=0, x0=−b/(2a)): Trường hợp nghiệm kép.

Khởi động và dự đoán

• Tam thức có hai nghiệm phân biệt và hệ số a dương mang dấu nào ngoài khoảng hai nghiệm?

Thuật ngữ và kí hiệu

tam thức bậc hai biệt thức nghiệm kép bảng xét dấu bất phương trình bậc hai

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
Δ=b²−4ac	a≠0	Phân loại số nghiệm của tam thức.
f(x) cùng dấu a ngoài, trái dấu a trong	Δ>0, x1<x2 là hai nghiệm	Định lí dấu tam thức.
f(x)=a(x−x0)²	Δ=0, x0=−b/(2a)	Trường hợp nghiệm kép.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra: em còn nhớ Hàm số bậc hai và parabol không? Hãy nêu một ví dụ.
• Tự kiểm tra: em còn nhớ Phương trình bậc hai không? Hãy nêu một ví dụ.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì đánh dấu để thử nghiệm cuối.
• Viện dẫn đúng định nghĩa, tính chất hoặc định lí; không suy từ hình vẽ hay vài ví dụ.
• Kiểm trường hợp biên và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• Với dấu ≥ hoặc ≤, nghiệm của tử được nhận nếu biểu thức xác định.
• Tam thức Δ<0 không có nghiệm nhưng vẫn có dấu xác định trên ℝ.

Phản ví dụ chống học máy móc

• x²+1<0 vô nghiệm trên ℝ; “không có nghiệm phương trình” không đồng nghĩa “bất phương trình luôn vô nghiệm” cho mọi dấu.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Xác định khoảng an toàn, khoảng lợi nhuận dương hoặc miền tham số thỏa điều kiện.

Minh họa trực quan

Minh họa trọng tâm — Bài 17

Khoảng	(−∞;x₁)	x₁	(x₁;x₂)	x₂	(x₂;+∞)
a>0	+	0	−	0	+
a<0	−	0	+	0	−

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Lập bảng xét dấu f(x)=2x²−5x+2.

1. 1 Giải f(x)=0 được x=1/2,2.
2. 2 Xét a>0 nên cùng dấu a ở ngoài.
3. 3 Ghi dấu 0 tại hai nghiệm và âm ở giữa.

Đáp án: Nghiệm 1/2 và 2; f>0 trên (−∞;1/2)∪(2;+∞), f<0 trên (1/2;2), f=0 tại hai nghiệm.

Tự kiểm: a=2>0 và Δ=9>0.

Ví dụ 2

Giải 3x²+x−2≥0.

1. 1 Phân tích 3x²+x−2=(3x−2)(x+1).
2. 2 Lập dấu với hai mốc −1,2/3.
3. 3 Chọn miền không âm và nhận hai nghiệm.

Đáp án: x∈(−∞;−1]∪[2/3;+∞).

Tự kiểm: Tam thức có nghiệm −1 và 2/3, hệ số đầu dương.

Ví dụ 3

Giải (x−3)(x+1)/(x−2)<0.

1. 1 Xác định nghiệm tử −1,3 và nghiệm mẫu 2.
2. 2 Sắp mốc và lập bảng dấu.
3. 3 Chọn khoảng âm; không nhận các mốc vì dấu < và mẫu.

Đáp án: x∈(−∞;−1)∪(2;3).

Tự kiểm: Các mốc −1,2,3; dấu lần lượt −,+,−,+ và loại x=2.

Lỗi sai thường gặp

• Học câu “ngoài cùng, trong trái” nhưng quên xét dấu a.
• Đổi dấu tại nghiệm kép.
• Lấy nghiệm của mẫu vào tập nghiệm khi xét thương.
• Tự kiểm bằng phản ví dụ: x²+1<0 vô nghiệm trên ℝ; “không có nghiệm phương trình” không đồng nghĩa “bất phương trình luôn vô nghiệm” cho mọi dấu.

Bài luyện thêm

• Nghiệm của x²−5x+6≤0 là gì?
• Nghiệm của −x²+4>0 là gì?
• Nghiệm của x²+1<0 trên ℝ là gì?
• Khi giải (x−1)/(x+2)≥0, giá trị nào luôn phải loại?
• Lập bảng xét dấu f(x)=2x²−5x+2.
• Giải 3x²+x−2≥0.