Toán lớp 10: Bài 18: Phương trình quy về phương trình bậc hai

Mục tiêu bài học

• Giải được dạng hai căn bậc hai của hai tam thức bậc hai bằng nhau.
• Giải được dạng căn của tam thức bậc hai bằng biểu thức bậc nhất.
• Xác định điều kiện, tìm nghiệm ứng viên và loại nghiệm ngoại lai.

Kiến thức cần nhớ

• Phương trình chứa căn bậc hai phải có các biểu thức dưới căn không âm; nếu một vế căn bằng biểu thức thì vế kia cũng phải không âm.
• Bình phương là phép biến đổi hệ quả khi chưa bảo đảm hai vế cùng không âm, nên có thể sinh nghiệm ngoại lai.
• Với √f(x)=g(x), hệ tương đương gồm g(x)≥0 và f(x)=g²(x); điều kiện f(x)≥0 khi đó được suy ra.
• Với √f(x)=√g(x), hệ tương đương f(x)=g(x) và f(x)≥0 (hoặc g(x)≥0).
• Quy trình an toàn: đặt điều kiện, biến đổi có kiểm soát, giải phương trình thu được, đối chiếu điều kiện và thử phương trình gốc.
• √f(x)=g(x) ⇔ {g(x)≥0; f(x)=g²(x)} (Làm việc trong ℝ): Khử một căn khi vế kia là biểu thức.
• √f(x)=√g(x) ⇔ {f(x)=g(x); f(x)≥0} (Làm việc trong ℝ): So sánh hai căn bậc hai.

Khởi động và dự đoán

• Sau khi bình phương hai vế, vì sao phải thử lại nghiệm trong phương trình ban đầu?

Thuật ngữ và kí hiệu

phương trình chứa căn điều kiện xác định biến đổi tương đương biến đổi hệ quả nghiệm ngoại lai

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
√f(x)=g(x) ⇔ {g(x)≥0; f(x)=g²(x)}	Làm việc trong ℝ	Khử một căn khi vế kia là biểu thức.
√f(x)=√g(x) ⇔ {f(x)=g(x); f(x)≥0}	Làm việc trong ℝ	So sánh hai căn bậc hai.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra: em còn nhớ Phương trình bậc hai không? Hãy nêu một ví dụ.
• Tự kiểm tra: em còn nhớ Căn bậc hai và điều kiện xác định không? Hãy nêu một ví dụ.

Trường hợp biên cần nhớ

• Phương trình có thể vô nghiệm dù phương trình sau bình phương có nghiệm.
• Một nghiệm làm biểu thức dưới căn bằng 0 vẫn hợp lệ nếu thỏa phương trình.

Phản ví dụ chống học máy móc

• √(x+2)=−1 vô nghiệm, dù bình phương cho x=−1; vế căn không thể âm.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Giải phương trình khoảng cách hoặc mô hình có đại lượng được biểu diễn bằng căn.

Minh họa trực quan

Minh họa trọng tâm — Bài 18

1 Đặt điều kiện xác định

2 Bảo đảm vế phải không âm khi cần

3 Bình phương có kiểm soát

4 Giải phương trình thu được

5 Thử lại phương trình gốc

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Giải √(3x+4)=x+2.

1. 1 Đặt điều kiện x≥−2.
2. 2 Bình phương: 3x+4=x²+4x+4, suy ra x(x+1)=0.
3. 3 Thử x=0,−1 vào phương trình gốc và nhận cả hai.

Đáp án: x=0 hoặc x=−1.

Tự kiểm: Cần x+2≥0; bình phương được x²+x=0; cả 0 và −1 đều thỏa.

Ví dụ 2

Giải √(x²−1)=√(3x+3).

1. 1 Lập điều kiện chung.
2. 2 Cho hai biểu thức dưới căn bằng nhau: x²−1=3x+3.
3. 3 Giải (x−4)(x+1)=0 và kiểm điều kiện.

Đáp án: x=−1 hoặc x=4.

Tự kiểm: Điều kiện x²−1≥0 và 3x+3≥0 cho x=−1 hoặc x≥1; phương trình bình phương x²−3x−4=0.

Ví dụ 3

Giải √(x+6)=x và chỉ rõ nghiệm ngoại lai.

1. 1 Đặt điều kiện x≥0.
2. 2 Bình phương và giải (x−3)(x+2)=0.
3. 3 Loại −2, thử x=3.

Đáp án: Nghiệm x=3; x=−2 là nghiệm ngoại lai.

Tự kiểm: Cần x≥0; bình phương cho x²−x−6=0 có x=3,−2.

Lỗi sai thường gặp

• Bình phương rồi nhận mọi nghiệm thu được.
• Chỉ đặt điều kiện dưới căn mà quên vế phải không âm.
• Rút √(u²)=u thay vì |u|.
• Tự kiểm bằng phản ví dụ: √(x+2)=−1 vô nghiệm, dù bình phương cho x=−1; vế căn không thể âm.

Bài luyện thêm

• √[(x−2)²] bằng gì?
• Giải √(x+3)=√(2x−1).
• Giải √(2x+3)=x.
• Bước nào bắt buộc sau khi dùng phép bình phương hệ quả?
• Giải √(3x+4)=x+2.
• Giải √(x²−1)=√(3x+3).