Toán lớp 10: Bài 19: Phương trình đường thẳng

Mục tiêu bài học

• Nhận biết được vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến khác không.
• Lập được phương trình đường thẳng từ điểm và vectơ hoặc từ hai điểm phân biệt.
• Chuyển đổi được dạng tham số, dạng tổng quát và liên hệ với đồ thị hàm bậc nhất.

Kiến thức cần nhớ

• Vectơ chỉ phương u khác 0 song song với đường thẳng; vectơ pháp tuyến n khác 0 vuông góc với đường thẳng.
• Nếu u=(u1;u2) là chỉ phương thì n=(u2;−u1) có thể chọn làm pháp tuyến, và ngược lại.
• Đường thẳng qua M(x0;y0), chỉ phương u có phương trình tham số x=x0+tu1, y=y0+tu2.
• Đường thẳng có pháp tuyến n=(a;b) và đi qua M có phương trình a(x−x0)+b(y−y0)=0.
• Phương trình tổng quát ax+by+c=0 hợp lệ khi (a,b)≠(0,0); nhân toàn bộ hệ số với số khác 0 không đổi đường thẳng.
• {x=x0+tu1; y=y0+tu2}, t∈ℝ (u=(u1;u2)≠0): Phương trình tham số qua M.
• a(x−x0)+b(y−y0)=0 (n=(a;b)≠0): Phương trình qua M có pháp tuyến n.
• ax+by+c=0 ((a,b)≠(0,0)): Phương trình tổng quát đường thẳng.

Khởi động và dự đoán

• Một đường thẳng qua điểm M cần thêm dữ kiện hướng nào để xác định duy nhất?

Thuật ngữ và kí hiệu

vectơ chỉ phương vectơ pháp tuyến phương trình tham số phương trình tổng quát hệ số góc

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
{x=x0+tu1; y=y0+tu2}, t∈ℝ	u=(u1;u2)≠0	Phương trình tham số qua M.
a(x−x0)+b(y−y0)=0	n=(a;b)≠0	Phương trình qua M có pháp tuyến n.
ax+by+c=0	(a,b)≠(0,0)	Phương trình tổng quát đường thẳng.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra: em còn nhớ Vectơ trong mặt phẳng tọa độ không? Hãy nêu một ví dụ.
• Tự kiểm tra: em còn nhớ Đồ thị hàm số bậc nhất không? Hãy nêu một ví dụ.

Trường hợp biên cần nhớ

• Đường thẳng đứng không có hệ số góc hữu hạn nhưng vẫn có phương trình tổng quát x=x0.
• Nhiều bộ hệ số tỉ lệ biểu diễn cùng một đường thẳng.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Phương trình 0x+0y+1=0 không biểu diễn đường thẳng nào.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Lập tuyến đường trên bản đồ tọa độ hoặc mô tả quỹ đạo thẳng.

Minh họa trực quan

Minh họa trọng tâm — Bài 19

{x=x0+tu1; y=y0+tu2}, t∈ℝ | u=(u1;u2)≠0

a(x−x0)+b(y−y0)=0 | n=(a;b)≠0

ax+by+c=0 | (a,b)≠(0,0)

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Cho Δ: 3x+4y−7=0. Nêu một pháp tuyến, một chỉ phương và kiểm chúng vuông góc.

1. 1 Đọc n từ hệ số x,y.
2. 2 Chọn u=(4;−3).
3. 3 Tính 3·4+4·(−3)=0.

Đáp án: n=(3;4), u=(4;−3); n·u=0.

Tự kiểm: Đổi và đổi dấu hai tọa độ tạo vectơ vuông góc.

Ví dụ 2

Lập phương trình tổng quát đường qua A(1;2), B(3;−1).

1. 1 Tính vectơ chỉ phương AB=(2;−3).
2. 2 Chọn pháp tuyến n=(3;2).
3. 3 Viết 3(x−1)+2(y−2)=0 và rút gọn.

Đáp án: 3x+2y−7=0.

Tự kiểm: AB=(2;−3), chọn pháp tuyến (3;2), thay A để tìm hằng số.

Ví dụ 3

Đổi x=1+2t, y=−3+t sang phương trình tổng quát.

1. 1 Nhận điểm M(1;−3), u=(2;1).
2. 2 Chọn n=(1;−2).
3. 3 Viết (x−1)−2(y+3)=0.

Đáp án: x−2y−7=0.

Tự kiểm: Chỉ phương (2;1), chọn pháp tuyến (1;−2) và đi qua (1;−3).

Lỗi sai thường gặp

• Dùng vectơ-không làm chỉ phương hoặc pháp tuyến.
• Nhầm chỉ phương với pháp tuyến.
• Lập đường thẳng qua hai điểm trùng nhau.
• Tự kiểm bằng phản ví dụ: Phương trình 0x+0y+1=0 không biểu diễn đường thẳng nào.

Bài luyện thêm

• Đường qua A(0;1), B(2;5) có một vectơ chỉ phương là gì?
• Phương trình nào không biểu diễn một đường thẳng?
• Phương trình nào cùng đường với 2x−y+3=0?
• Đường thẳng đứng qua A(4;−2) có phương trình gì?
• Cho Δ: 3x+4y−7=0. Nêu một pháp tuyến, một chỉ phương và kiểm chúng vuông góc.
• Lập phương trình tổng quát đường qua A(1;2), B(3;−1).