Toán lớp 10: Bài 20: Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng. Góc và khoảng cách

Mục tiêu bài học

• Nhận biết được hai đường thẳng cắt, song song, trùng hoặc vuông góc.
• Thiết lập và sử dụng được công thức tính góc giữa hai đường thẳng.
• Tính được khoảng cách từ điểm đến đường thẳng và vận dụng vào thực tế.

Kiến thức cần nhớ

• Hai đường thẳng được phân loại cắt nhau, song song hoặc trùng nhau bằng hệ số hay bằng nghiệm của hệ phương trình.
• Nếu hai vectơ chỉ phương không cùng phương thì hai đường cắt nhau; nếu cùng phương cần kiểm thêm một điểm để phân biệt song song và trùng.
• Góc nhỏ giữa hai đường thuộc đoạn từ 0° đến 90°; hai đường song song có góc 0°. Có thể tính qua góc giữa các vectơ chỉ phương hoặc pháp tuyến.
• Khoảng cách từ M(x0;y0) đến ax+by+c=0 là trị tuyệt đối của ax0+by0+c chia √(a²+b²).
• Khoảng cách chỉ dùng khi (a,b)≠(0,0); nếu M thuộc đường thì khoảng cách bằng 0.
• cosφ=|n₁·n₂|/(|n₁||n₂|) (n₁,n₂ khác 0; 0°≤φ≤90°): Góc nhỏ giữa hai đường thẳng.
• d(M,Δ)=|ax0+by0+c|/√(a²+b²) (Δ: ax+by+c=0, (a,b)≠(0,0)): Khoảng cách từ điểm đến đường.

Khởi động và dự đoán

• Hai đường có vectơ pháp tuyến cùng phương có thể trùng nhau hay chỉ song song?

Thuật ngữ và kí hiệu

vị trí tương đối góc giữa hai đường thẳng khoảng cách từ điểm đến đường thẳng

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
cosφ=|n₁·n₂|/(|n₁||n₂|)	n₁,n₂ khác 0; 0°≤φ≤90°	Góc nhỏ giữa hai đường thẳng.
d(M,Δ)=|ax0+by0+c|/√(a²+b²)	Δ: ax+by+c=0, (a,b)≠(0,0)	Khoảng cách từ điểm đến đường.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra: em còn nhớ Phương trình đường thẳng không? Hãy nêu một ví dụ.
• Tự kiểm tra: em còn nhớ Tích vô hướng của hai vectơ không? Hãy nêu một ví dụ.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì đánh dấu để thử nghiệm cuối.
• Viện dẫn đúng định nghĩa, tính chất hoặc định lí; không suy từ hình vẽ hay vài ví dụ.
• Kiểm trường hợp biên và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• Hai đường vuông góc có góc 90°.
• Hai đường song song phân biệt không có giao điểm nhưng khoảng cách giữa chúng dương.

Phản ví dụ chống học máy móc

• x+y=1 và 2x+2y=3 có pháp tuyến cùng phương nhưng song song, không trùng.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Tính hành lang an toàn quanh tuyến đường hoặc góc giao giữa hai tuyến.

Minh họa trực quan

Minh họa trọng tâm — Bài 20

cosφ=|n₁·n₂|/(|n₁||n₂|) | n₁,n₂ khác 0; 0°≤φ≤90°

d(M,Δ)=|ax0+by0+c|/√(a²+b²) | Δ: ax+by+c=0, (a,b)≠(0,0)

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Xét vị trí Δ1: x+2y−3=0 và Δ2: 2x+4y+1=0.

1. 1 So sánh (1;2) và (2;4).
2. 2 Kiểm hệ số tự do để loại trường hợp trùng.
3. 3 Kết luận song song phân biệt.

Đáp án: Song song phân biệt.

Tự kiểm: Pháp tuyến cùng phương, nhưng 2·(−3)=−6 khác 1 nên phương trình không tỉ lệ toàn bộ.

Ví dụ 2

Tính góc giữa x=0 và x−√3y=0.

1. 1 Chọn n1=(1;0), n2=(1;−√3).
2. 2 Tính cosφ=1/2.
3. 3 Suy ra góc nhỏ φ=60°.

Đáp án: 60°.

Tự kiểm: Pháp tuyến (1;0),(1;−√3); cosφ=1/(1·2)=1/2 nên φ=60°.

Ví dụ 3

Tính khoảng cách từ M(2;−1) đến 2x−y+3=0.

1. 1 Thay tọa độ M vào vế trái và lấy trị tuyệt đối: 8.
2. 2 Tính √(2²+(−1)²)=√5.
3. 3 Rút gọn hoặc hữu tỉ hóa.

Đáp án: 8/√5=8√5/5.

Tự kiểm: |2·2−(−1)+3|/√5=8/√5.

Lỗi sai thường gặp

• Thấy hệ số a,b tỉ lệ rồi kết luận trùng nhau.
• Bỏ trị tuyệt đối trong công thức khoảng cách.
• Trả góc tù thay vì góc nhỏ giữa hai đường.
• Tự kiểm bằng phản ví dụ: x+y=1 và 2x+2y=3 có pháp tuyến cùng phương nhưng song song, không trùng.

Bài luyện thêm

• Trong công thức cos góc giữa hai đường, vì sao dùng trị tuyệt đối?
• Khoảng cách từ O đến 3x+4y−10=0 bằng gì?
• Điểm M thuộc đường Δ thì d(M,Δ) bằng gì?
• Trong d(M,ax+by+c=0), điều gì bắt buộc?
• Xét vị trí Δ1: x+2y−3=0 và Δ2: 2x+4y+1=0.
• Tính góc giữa x=0 và x−√3y=0.