Toán lớp 10: Bài 21: Đường tròn trong mặt phẳng tọa độ

Mục tiêu bài học

• Lập được phương trình đường tròn từ tâm, bán kính hoặc ba điểm không thẳng hàng.
• Xác định được tâm và bán kính từ phương trình của đường tròn.
• Lập được tiếp tuyến tại tiếp điểm và vận dụng vào bài toán thực tế.

Kiến thức cần nhớ

• Đường tròn tâm I(a;b), bán kính R>0 gồm các điểm M thỏa IM=R.
• Phương trình chuẩn là (x−a)²+(y−b)²=R²; cần phân biệt dấu trong ngoặc với tọa độ tâm.
• Dạng x²+y²−2ax−2by+c=0 là đường tròn thực khi R²=a²+b²−c>0.
• Đường tròn qua ba điểm không thẳng hàng được xác định duy nhất; có thể lập hệ tìm tâm hoặc các hệ số.
• Tiếp tuyến tại M thuộc đường tròn vuông góc với bán kính IM, nên IM là một vectơ pháp tuyến.
• (x−a)²+(y−b)²=R² (R>0): Đường tròn tâm I(a;b), bán kính R.
• R²=a²+b²−c (x²+y²−2ax−2by+c=0): Điều kiện và bán kính ở dạng khai triển.
• (xM−a)(x−xM)+(yM−b)(y−yM)=0 (M thuộc đường tròn tâm I(a;b)): Tiếp tuyến tại M.

Khởi động và dự đoán

• Từ phương trình (x−2)²+(y+1)²=9 đọc được tâm và bán kính nào?

Thuật ngữ và kí hiệu

đường tròn tâm bán kính tiếp tuyến tiếp điểm

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
(x−a)²+(y−b)²=R²	R>0	Đường tròn tâm I(a;b), bán kính R.
R²=a²+b²−c	x²+y²−2ax−2by+c=0	Điều kiện và bán kính ở dạng khai triển.
(xM−a)(x−xM)+(yM−b)(y−yM)=0	M thuộc đường tròn tâm I(a;b)	Tiếp tuyến tại M.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra: em còn nhớ Khoảng cách giữa hai điểm không? Hãy nêu một ví dụ.
• Tự kiểm tra: em còn nhớ Phương trình đường thẳng không? Hãy nêu một ví dụ.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì đánh dấu để thử nghiệm cuối.
• Viện dẫn đúng định nghĩa, tính chất hoặc định lí; không suy từ hình vẽ hay vài ví dụ.
• Kiểm trường hợp biên và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• R=0 chỉ cho một điểm, không phải đường tròn theo quy ước R>0.
• Ba điểm thẳng hàng không xác định đường tròn đi qua cả ba.

Phản ví dụ chống học máy móc

• x²+y²+1=0 không có điểm thực nên không phải phương trình một đường tròn thực.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Mô tả vùng phủ sóng, quỹ đạo tròn hoặc tuyến tiếp xúc.

Minh họa trực quan

Minh họa trọng tâm — Bài 21

Thiết lập và đọc phương trình đường tròn

Dữ kiện trên hình

I(a;b) R>0 (x−a)²+(y−b)²=R² tiếp tuyến vuông góc IM

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Lập phương trình đường tròn tâm I(−2;1), bán kính 3.

1. 1 Viết (x−a)²+(y−b)²=R².
2. 2 Thay a=−2,b=1.
3. 3 Rút dấu trong ngoặc đúng.

Đáp án: (x+2)²+(y−1)²=9.

Tự kiểm: Thay a=−2,b=1,R=3 vào dạng chuẩn.

Ví dụ 2

Tìm tâm và bán kính của x²+y²−6x+8y+9=0.

1. 1 Nhóm x²−6x và y²+8y.
2. 2 Hoàn thành bình phương rồi chuyển hằng số.
3. 3 Đọc tâm (3;−4), bán kính 4.

Đáp án: I(3;−4), R=4.

Tự kiểm: Hoàn thành bình phương: (x−3)²+(y+4)²=16.

Ví dụ 3

Lập đường tròn qua A(0;0), B(4;0), C(0;6).

1. 1 Nhận AB⊥AC nên BC là đường kính của đường tròn ngoại tiếp.
2. 2 Tìm trung điểm I(2;3).
3. 3 Tính R²=IB²=13 và viết phương trình.

Đáp án: (x−2)²+(y−3)²=13.

Tự kiểm: Tam giác ABC vuông tại A, tâm là trung điểm BC (2;3), R²=13.

Lỗi sai thường gặp

• Đọc tâm (−a;−b) từ dạng chuẩn.
• Chấp nhận R²≤0 là đường tròn thực.
• Lập tiếp tuyến tại điểm không thuộc đường tròn.
• Tự kiểm bằng phản ví dụ: x²+y²+1=0 không có điểm thực nên không phải phương trình một đường tròn thực.

Bài luyện thêm

• Điểm nào thuộc x²+y²=25?
• Tiếp tuyến tại M(3;4) của x²+y²=25 có pháp tuyến nào?
• Tiếp tuyến tại M(5;0) của x²+y²=25 là gì?
• Điều kiện bán kính của một đường tròn là gì?
• Lập phương trình đường tròn tâm I(−2;1), bán kính 3.
• Tìm tâm và bán kính của x²+y²−6x+8y+9=0.