Toán lớp 10: Bài 22: Ba đường conic

Mục tiêu bài học

• Nhận biết được elip, hypebol và parabol bằng hình học.
• Nhận biết được phương trình chính tắc và điều kiện tham số của ba đường conic.
• Giải quyết được vấn đề thực tế đơn giản gắn với ba đường conic.

Kiến thức cần nhớ

• Elip là tập điểm có tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm cố định bằng một hằng số lớn hơn khoảng cách hai tiêu điểm.
• Hypebol là tập điểm có trị tuyệt đối hiệu khoảng cách đến hai tiêu điểm bằng một hằng số dương nhỏ hơn khoảng cách hai tiêu điểm.
• Parabol là tập điểm cách đều một tiêu điểm và một đường chuẩn không đi qua tiêu điểm.
• Phương trình chính tắc cho biết trục đối xứng và tham số; phải kiểm điều kiện a>b>0 với elip/hypebol theo quy ước của bài.
• Nội dung cốt lõi tập trung nhận biết, phương trình chính tắc và ứng dụng; các tính chất sâu hơn thuộc chuyên đề lựa chọn.
• x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0): Elip trục lớn nằm trên Ox theo quy ước này.
• x²/a²−y²/b²=1 (a>0,b>0): Hypebol có trục thực nằm trên Ox theo quy ước này.
• y²=2px (p>0 trong quy ước đang dùng): Một dạng chính tắc của parabol.

Khởi động và dự đoán

• Quỹ tích có tổng khoảng cách đến hai điểm cố định không đổi là đường conic nào?

Thuật ngữ và kí hiệu

đường conic elip hypebol parabol tiêu điểm đường chuẩn phương trình chính tắc

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
x²/a²+y²/b²=1	a>b>0	Elip trục lớn nằm trên Ox theo quy ước này.
x²/a²−y²/b²=1	a>0,b>0	Hypebol có trục thực nằm trên Ox theo quy ước này.
y²=2px	p>0 trong quy ước đang dùng	Một dạng chính tắc của parabol.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra: em còn nhớ Hàm số bậc hai và parabol không? Hãy nêu một ví dụ.
• Tự kiểm tra: em còn nhớ Khoảng cách và tọa độ không? Hãy nêu một ví dụ.

Trường hợp biên cần nhớ

• Đường tròn là trường hợp đặc biệt về hình dạng nhưng phương trình elip chuẩn ở đây yêu cầu a>b để phân biệt.
• Đổi vai trò x,y làm đổi hướng trục chính.

Phản ví dụ chống học máy móc

• x²/9+y²/16=1 là elip có trục lớn theo Oy, nên không thể đọc máy móc a=3 là bán trục lớn.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Giải thích dạng phản xạ của chảo parabol, quỹ đạo hoặc kiến trúc elip ở mức mô hình.

Minh họa trực quan

Minh họa trọng tâm — Bài 22

Đường	Định nghĩa khoảng cách	Dạng chính tắc mẫu
Elip	tổng đến hai tiêu điểm	x²/a²+y²/b²=1
Hypebol	|hiệu| đến hai tiêu điểm	x²/a²−y²/b²=1
Parabol	cách đều tiêu điểm và đường chuẩn	y²=2px

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Phân loại ba đường: x²/25+y²/9=1; x²/9−y²/4=1; y²=8x.

1. 1 Phương trình thứ nhất có tổng hai bình phương chuẩn hóa.
2. 2 Phương trình thứ hai có hiệu hai bình phương.
3. 3 Phương trình thứ ba có một biến bình phương và một biến bậc nhất.

Đáp án: Lần lượt là elip, hypebol, parabol.

Tự kiểm: Dựa vào dấu và dạng bình phương của phương trình chính tắc.

Ví dụ 2

Cho elip x²/16+y²/9=1. Nêu hướng trục lớn và các giao điểm với hai trục tọa độ.

1. 1 So sánh hai mẫu 16>9.
2. 2 Cho y=0 để tìm x=±4.
3. 3 Cho x=0 để tìm y=±3.

Đáp án: Trục lớn theo Ox; giao Ox tại (±4;0), giao Oy tại (0;±3).

Tự kiểm: Các bán trục là 4 và 3.

Ví dụ 3

Cho parabol y²=10x ở quy ước y²=2px. Tìm p và cho biết hướng mở.

1. 1 So sánh hệ số với 2p.
2. 2 Giải p=5.
3. 3 Vì p>0 và x ở vế phải nên mở về phía x dương.

Đáp án: p=5; parabol mở sang phải.

Tự kiểm: 2p=10 nên p=5>0.

Lỗi sai thường gặp

• Nhầm tổng khoảng cách của elip với hiệu khoảng cách của hypebol.
• Không kiểm dấu giữa hai phân thức.
• Đưa tâm sai, tiệm cận hoặc khai thác sâu đường chuẩn thành yêu cầu cốt lõi.
• Tự kiểm bằng phản ví dụ: x²/9+y²/16=1 là elip có trục lớn theo Oy, nên không thể đọc máy móc a=3 là bán trục lớn.

Bài luyện thêm

• Phương trình nào là hypebol?
• Phương trình y²=12x là conic nào?
• Elip x²/9+y²/25=1 có trục lớn theo hướng nào?
• Vật nào thường được mô hình bằng tính chất phản xạ của parabol?
• Phân loại ba đường: x²/25+y²/9=1; x²/9−y²/4=1; y²=8x.
• Cho elip x²/16+y²/9=1. Nêu hướng trục lớn và các giao điểm với hai trục tọa độ.