Toán lớp 10: Bài 23: Quy tắc đếm

Mục tiêu bài học

• Vận dụng được quy tắc cộng và quy tắc nhân trong tình huống đơn giản.
• Dùng được sơ đồ cây và chia trường hợp để đếm không trùng.
• Giải được bài đếm trong Toán học, liên môn và thực tiễn.

Kiến thức cần nhớ

• Quy tắc cộng dùng khi công việc được thực hiện theo một trong các phương án loại trừ nhau; tổng số cách là tổng số cách từng phương án.
• Nếu các phương án có giao nhau, phải trừ phần đếm trùng hoặc chia thành các trường hợp rời nhau.
• Quy tắc nhân dùng khi công việc gồm các công đoạn liên tiếp; số cách là tích số lựa chọn ở mỗi công đoạn.
• Sơ đồ cây biểu diễn tuần tự các lựa chọn và giúp phát hiện nhánh thiếu hoặc trùng.
• Trước khi đếm cần xác định một “kết quả” có xét thứ tự, cho phép lặp và có ràng buộc hay không.
• m+n (Hai phương án có m,n cách và loại trừ nhau): Quy tắc cộng.
• m·n (Công việc gồm hai công đoạn liên tiếp có m,n lựa chọn phù hợp): Quy tắc nhân.
• n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B) (A,B hữu hạn): Sửa đếm trùng khi hai nhóm giao nhau.

Khởi động và dự đoán

• Chọn một đồ uống hoặc một món ăn dùng quy tắc cộng; chọn cả hai dùng quy tắc nào?

Thuật ngữ và kí hiệu

quy tắc cộng quy tắc nhân sơ đồ cây trường hợp rời nhau đếm trùng

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
m+n	Hai phương án có m,n cách và loại trừ nhau	Quy tắc cộng.
m·n	Công việc gồm hai công đoạn liên tiếp có m,n lựa chọn phù hợp	Quy tắc nhân.
n(A∪B)=n(A)+n(B)−n(A∩B)	A,B hữu hạn	Sửa đếm trùng khi hai nhóm giao nhau.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra: em còn nhớ Tập hợp và phép toán tập hợp không? Hãy nêu một ví dụ.
• Tự kiểm tra: em còn nhớ Sơ đồ cây trực quan không? Hãy nêu một ví dụ.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì đánh dấu để thử nghiệm cuối.
• Viện dẫn đúng định nghĩa, tính chất hoặc định lí; không suy từ hình vẽ hay vài ví dụ.
• Kiểm trường hợp biên và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• Một công đoạn có 0 lựa chọn thì toàn bộ quy trình có 0 cách.
• Số lựa chọn ở bước sau có thể phụ thuộc bước trước; khi đó phải chia nhánh.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Có 5 bạn biết Anh, 4 bạn biết Pháp và 2 bạn biết cả hai: số bạn biết ít nhất một không phải 9 mà là 7.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Đếm mã, lộ trình, thực đơn hoặc phương án cấu hình theo nhiều bước.

Minh họa trực quan

Minh họa trọng tâm — Bài 23

Bước 1	Bước 2	Số cách
4 áo	3 quần	4×3=12
2 đường A→B	5 đường B→C	2×5=10

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Một mã gồm 2 chữ cái khác nhau từ A,B,C,D rồi 3 chữ số có thể lặp. Có bao nhiêu mã?

1. 1 Đếm phần chữ: 4·3.
2. 2 Đếm phần số: 10³.
3. 3 Nhân 12·1000=12 000.

Đáp án: 12 000 mã.

Tự kiểm: Chữ thứ nhất 4 cách, chữ thứ hai 3 cách, mỗi chữ số 10 cách.

Ví dụ 2

Tung một đồng xu rồi gieo một xúc xắc. Dùng cấu trúc cây để đếm kết quả.

1. 1 Bước xu có N,S.
2. 2 Từ mỗi kết quả xu nối 6 mặt xúc xắc.
3. 3 Dùng quy tắc nhân 2·6=12.

Đáp án: 12 kết quả.

Tự kiểm: Cây có 2 nhánh ở bước đầu, mỗi nhánh có 6 nhánh ở bước sau.

Ví dụ 3

Trong 50 học sinh, 28 thích bóng đá, 24 thích cầu lông, 9 thích cả hai. Có bao nhiêu bạn không thích môn nào?

1. 1 Dùng bao hàm–loại trừ để tính hợp.
2. 2 Tính 43 bạn thích ít nhất một.
3. 3 Lấy phần bù trong 50 được 7.

Đáp án: 7 học sinh.

Tự kiểm: Ít nhất một là 28+24−9=43; không môn nào là 50−43.

Lỗi sai thường gặp

• Cộng khi phải thực hiện đồng thời các công đoạn.
• Cộng hai nhóm có phần giao mà không trừ trùng.
• Quên loại chữ số 0 ở vị trí đầu của một số.
• Tự kiểm bằng phản ví dụ: Có 5 bạn biết Anh, 4 bạn biết Pháp và 2 bạn biết cả hai: số bạn biết ít nhất một không phải 9 mà là 7.

Bài luyện thêm

• A có 10 phần tử, B có 8 phần tử, A∩B có 3 phần tử. n(A∪B) bằng gì?
• Dùng các chữ số 0,1,2 lập số có hai chữ số khác nhau. Có bao nhiêu số?
• Có 5 đường A→B và 3 đường B→C. Nếu một đường B→C bị đóng bất kể đường trước, có bao nhiêu lộ trình?
• Vì sao cần chia các trường hợp rời nhau trước khi cộng?
• Một mã gồm 2 chữ cái khác nhau từ A,B,C,D rồi 3 chữ số có thể lặp. Có bao nhiêu mã?
• Tung một đồng xu rồi gieo một xúc xắc. Dùng cấu trúc cây để đếm kết quả.