Toán lớp 10: Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp

Mục tiêu bài học

• Phân biệt được bài toán chọn có xét thứ tự và không xét thứ tự.
• Tính được số hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp với điều kiện chỉ số hợp lệ.
• Dùng được máy tính và giải bài đếm có ràng buộc đơn giản.

Kiến thức cần nhớ

• Hoán vị sắp xếp toàn bộ n phần tử phân biệt; chỉnh hợp chọn và sắp thứ tự k phần tử; tổ hợp chỉ chọn k phần tử.
• Vai trò của thứ tự là câu hỏi quyết định: đổi vị trí có tạo kết quả mới hay không.
• Giai thừa n! là tích từ 1 đến n và 0!=1; điều kiện thông thường là 0≤k≤n.
• Bài có ràng buộc nên dùng phương pháp phần tử đặc biệt, khối, bù hoặc chia trường hợp rời nhau.
• Sau khi lập biểu thức đếm phải kiểm xem mỗi kết quả được đếm đúng một lần.
• Pₙ=n! (n là số nguyên không âm): Số hoán vị n phần tử phân biệt.
• Aₙᵏ=n!/(n−k)! (0≤k≤n): Số chỉnh hợp chập k của n phần tử.
• Cₙᵏ=n!/[k!(n−k)!] (0≤k≤n): Số tổ hợp chập k của n phần tử.
• Cₙᵏ=Cₙⁿ⁻ᵏ (0≤k≤n): Tính đối xứng của tổ hợp.

Khởi động và dự đoán

• Chọn 3 bạn vào một nhóm khác gì chọn lớp trưởng, lớp phó và thư kí?

Thuật ngữ và kí hiệu

giai thừa hoán vị chỉnh hợp tổ hợp ràng buộc

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
Pₙ=n!	n là số nguyên không âm	Số hoán vị n phần tử phân biệt.
Aₙᵏ=n!/(n−k)!	0≤k≤n	Số chỉnh hợp chập k của n phần tử.
Cₙᵏ=n!/[k!(n−k)!]	0≤k≤n	Số tổ hợp chập k của n phần tử.
Cₙᵏ=Cₙⁿ⁻ᵏ	0≤k≤n	Tính đối xứng của tổ hợp.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra: em còn nhớ Quy tắc cộng và quy tắc nhân không? Hãy nêu một ví dụ.
• Tự kiểm tra: em còn nhớ Giai thừa không? Hãy nêu một ví dụ.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì đánh dấu để thử nghiệm cuối.
• Viện dẫn đúng định nghĩa, tính chất hoặc định lí; không suy từ hình vẽ hay vài ví dụ.
• Kiểm trường hợp biên và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• Chọn 0 phần tử có đúng một cách.
• Chọn n phần tử từ n phần tử cũng có đúng một cách.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Chọn 3 trong 8 bạn có C₈³ cách; phân ba vai cho 3 trong 8 bạn có A₈³ cách.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Lập đội, xếp lịch, tạo mã không lặp hoặc bố trí chỗ có điều kiện.

Minh họa trực quan

Minh họa trọng tâm — Bài 24

Pₙ=n! | n là số nguyên không âm

Aₙᵏ=n!/(n−k)! | 0≤k≤n

Cₙᵏ=n!/[k!(n−k)!] | 0≤k≤n

Cₙᵏ=Cₙⁿ⁻ᵏ | 0≤k≤n

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Tính A₇³ và giải thích ý nghĩa trong bài phân ba huy chương cho 7 vận động viên.

1. 1 Chọn người nhận vàng 7 cách.
2. 2 Tiếp tục bạc 6, đồng 5 cách.
3. 3 Nhân được 210.

Đáp án: A₇³=7·6·5=210.

Tự kiểm: Ba huy chương khác nhau nên thứ tự nhận huy chương quan trọng.

Ví dụ 2

Một lớp có 12 bạn, chọn ban hậu cần 4 bạn không phân vai. Có bao nhiêu cách?

1. 1 Nhận dạng tổ hợp vì không phân vai.
2. 2 Tính 12!/(4!8!).
3. 3 Rút gọn được 495.

Đáp án: C₁₂⁴=495.

Tự kiểm: Mỗi nhóm bốn bạn chỉ được đếm một lần.

Ví dụ 3

Xếp 6 cuốn sách khác nhau, hai cuốn Toán không được cạnh nhau. Có bao nhiêu cách?

1. 1 Đếm tất cả 6! cách.
2. 2 Gộp hai cuốn Toán thành khối: 5!·2 cách.
3. 3 Lấy 720−240=480.

Đáp án: 480 cách.

Tự kiểm: Tổng 6!=720; cạnh nhau có 2·5!=240; hiệu 480.

Lỗi sai thường gặp

• Dùng tổ hợp cho bài phân vai.
• Quên 0!=1.
• Dùng công thức khi k>n hoặc đếm một kết quả nhiều lần.
• Tự kiểm bằng phản ví dụ: Chọn 3 trong 8 bạn có C₈³ cách; phân ba vai cho 3 trong 8 bạn có A₈³ cách.

Bài luyện thêm

• Bài nào dùng tổ hợp?
• C₁₀⁸ bằng giá trị tổ hợp nào?
• Xếp 5 bạn thành hàng, A và B phải đứng cạnh nhau. Có bao nhiêu cách?
• Chọn 2 từ 6 bạn, trong đó A và B không được cùng được chọn. Có bao nhiêu cách?
• Tính A₇³ và giải thích ý nghĩa trong bài phân ba huy chương cho 7 vận động viên.
• Một lớp có 12 bạn, chọn ban hậu cần 4 bạn không phân vai. Có bao nhiêu cách?