Toán lớp 10: Bài 25: Nhị thức Newton

Mục tiêu bài học

• Dùng được tam giác Pascal và tổ hợp để xác định hệ số khai triển.
• Khai triển được nhị thức Newton với số mũ 4 hoặc 5.
• Xác định được một hệ số hoặc hạng tử trong khai triển số mũ thấp.

Kiến thức cần nhớ

• Tam giác Pascal bắt đầu và kết thúc mỗi hàng bằng 1; số bên trong bằng tổng hai số ngay phía trên.
• Khai triển (a+b)ⁿ có n+1 hạng; hệ số là Cₙᵏ và số mũ a giảm trong khi số mũ b tăng.
• Trong chương trình cốt lõi lớp 10, thực hành công thức nhị thức Newton chủ yếu với n=4 hoặc n=5.
• Số hạng chứa aⁿ⁻ᵏbᵏ là Cₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ; cần giải phương trình số mũ khi tìm hệ số của một lũy thừa cụ thể.
• Dấu của số hạng phải được giữ nếu khai triển (a−b)ⁿ.
• (a+b)ⁿ=Σ Cₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ (n=4 hoặc n=5 trong phạm vi cốt lõi; k=0,…,n): Công thức nhị thức Newton.
• Tₖ₊₁=Cₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ (k=0,…,n): Số hạng thứ k+1.

Khởi động và dự đoán

• Hệ số của x² trong (1+x)⁵ nằm ở vị trí nào của hàng Pascal?

Thuật ngữ và kí hiệu

tam giác Pascal nhị thức Newton hệ số số hạng

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
(a+b)ⁿ=Σ Cₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ	n=4 hoặc n=5 trong phạm vi cốt lõi; k=0,…,n	Công thức nhị thức Newton.
Tₖ₊₁=Cₙᵏaⁿ⁻ᵏbᵏ	k=0,…,n	Số hạng thứ k+1.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra: em còn nhớ Tổ hợp không? Hãy nêu một ví dụ.
• Tự kiểm tra: em còn nhớ Hằng đẳng thức và lũy thừa không? Hãy nêu một ví dụ.

Trường hợp biên cần nhớ

• Hệ số đầu và cuối đều bằng 1.
• Tổng hệ số của (a+b)ⁿ nhận được bằng cách cho a=b=1.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Trong (1−x)⁴, hệ số x³ là −4 chứ không phải 4.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Khai triển nhanh biểu thức bậc 4, bậc 5 và nhận dạng hệ số.

Minh họa trực quan

Minh họa trọng tâm — Bài 25

n	Hệ số Pascal
0	1
1	1 1
2	1 2 1
3	1 3 3 1
4	1 4 6 4 1
5	1 5 10 10 5 1

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Khai triển (x+2)⁴.

1. 1 Viết tổng C₄ᵏx⁴⁻ᵏ2ᵏ.
2. 2 Tính lần lượt các hệ số.
3. 3 Kiểm số hạng đầu x⁴ và cuối 16.

Đáp án: x⁴+8x³+24x²+32x+16.

Tự kiểm: Dùng hệ số 1,4,6,4,1 cùng các lũy thừa của 2.

Ví dụ 2

Khai triển (2x−1)⁴.

1. 1 Dùng hàng Pascal 1,4,6,4,1.
2. 2 Ghép (2x)⁴⁻ᵏ(−1)ᵏ.
3. 3 Thu gọn từng hệ số và kiểm dấu.

Đáp án: 16x⁴−32x³+24x²−8x+1.

Tự kiểm: Dấu xen kẽ theo lũy thừa của −1.

Ví dụ 3

Tìm hệ số x³ trong (1+2x)⁵.

1. 1 Chọn k=3 để lũy thừa x là 3.
2. 2 Tính C₅³=10.
3. 3 Nhân 2³ để được 80.

Đáp án: 80.

Tự kiểm: Số hạng k=3 có hệ số C₅³·2³=10·8=80.

Lỗi sai thường gặp

• Viết thiếu một số hạng.
• Cho cả hai số mũ cùng tăng.
• Bỏ dấu (−1)ᵏ khi khai triển hiệu.
• Tự kiểm bằng phản ví dụ: Trong (1−x)⁴, hệ số x³ là −4 chứ không phải 4.

Bài luyện thêm

• Hệ số của x² trong (1+x)⁵ là gì?
• Số hạng chứa a³b² trong (a+b)⁵ có hệ số gì?
• Hệ số x² trong (2+x)⁴ là gì?
• Tổng các hệ số của (2x−1)⁵ bằng gì?
• Khai triển (x+2)⁴.
• Khai triển (2x−1)⁴.