Toán lớp 11: Bài 3: Hàm số lượng giác

Mục tiêu bài học

• Xác định được tập xác định và tập giá trị của các hàm sin, cos, tang, côtang.
• Nhận biết được tính chẵn, lẻ và tính tuần hoàn của hàm lượng giác.
• Vẽ và đọc được đồ thị cơ bản, các khoảng biến thiên từ đồ thị.
• Mô tả được một hiện tượng tuần hoàn đơn giản bằng hàm sin hoặc cos.

Kiến thức cần nhớ

• Hàm y = sin x và y = cos x xác định với mọi số thực, nhận giá trị trong [−1;1] và có chu kì 2π. Hàm sin lẻ, còn hàm cos chẵn.
• Hàm y = tan x không xác định tại x = π/2+kπ và có chu kì π; hàm y = cot x không xác định tại x = kπ và cũng có chu kì π.
• Trên từng miền xác định, tan và cot đều nhận mọi giá trị thực và đều là hàm lẻ: tan(−x)=−tan x, cot(−x)=−cot x. Tính lẻ được phát biểu trên miền đối xứng qua 0, không lấp các điểm bị loại.
• Đồ thị lượng giác được dựng từ đường tròn lượng giác rồi lặp theo chu kì. Các điểm không thuộc tập xác định của tan, cot tạo những đường tiệm cận đứng trên hình vẽ, không phải điểm của đồ thị.
• Tính đồng biến, nghịch biến phải được phát biểu trên từng khoảng. Một hàm tuần hoàn không thể kết luận đồng biến trên toàn bộ ℝ chỉ từ một nhánh đồ thị.
• Biến đổi y = A sin(ωx+φ)+d làm thay đổi biên độ |A|, chu kì 2π/|ω| khi ω khác 0, pha và đường trung bình y=d; các thông số cần được đọc theo đúng vai trò.
• Khi mô hình hóa, biến x và đơn vị phải rõ ràng. Mô hình tuần hoàn chỉ hợp lí trong khoảng thời gian hiện tượng duy trì gần đều.
• Bảng biến thiên chuẩn trên một chu kì: sin tăng trên [−π/2;π/2] rồi giảm trên [π/2;3π/2]; cos giảm trên [0;π] rồi tăng trên [π;2π]. Các khoảng được dịch thêm bội của 2π.
• Trên mỗi khoảng (−π/2+kπ;π/2+kπ), tan tăng từ −∞ đến +∞. Trên mỗi khoảng (kπ;(k+1)π), cot giảm từ +∞ đến −∞. Các đầu mút đều bị loại khỏi tập xác định.

Khởi động và dự đoán

• Độ cao của một điểm trên vòng quay biến thiên tuần hoàn; hàm sin hay cos mô tả sự lặp lại ấy như thế nào?

Thuật ngữ và kí hiệu

hàm số lượng giác chu kì tập xác định tập giá trị tính chẵn lẻ biên độ pha đường trung bình

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
D(sin)=D(cos)=ℝ; −1≤sin x, cos x≤1	x là số thực	Miền xác định và miền giá trị của sin, cos.
sin(x+2π)=sin x; cos(x+2π)=cos x	Mọi x thực	Chu kì 2π của sin và cos.
D(tan)=ℝ\{π/2+kπ}; D(cot)=ℝ\{kπ}, k∈ℤ	x là biến thực	Các điểm loại khỏi miền xác định.
T(tan)=T(cot)=ℝ	x chạy trên miền xác định tương ứng	Tập giá trị của hàm tang và côtang.
tan(−x)=−tan x; cot(−x)=−cot x	Hai vế thuộc miền xác định tương ứng	Tan và cot là hai hàm lẻ.
tan(x+π)=tan x; cot(x+π)=cot x	Hai vế đều xác định	Chu kì π của tan và cot.
T = 2π/|ω|	Hàm A sin(ωx+φ)+d hoặc A cos(ωx+φ)+d với A≠0 và ω≠0	Chu kì dương nhỏ nhất của mô hình sin/cos không suy biến.
max y=d+|A|; min y=d−|A|	y=A sin(ωx+φ)+d hoặc A cos(ωx+φ)+d; A≠0, ω≠0, x∈ℝ	Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mô hình tuần hoàn không suy biến trên toàn trục số.
sin tăng: [−π/2+k2π;π/2+k2π]; sin giảm: [π/2+k2π;3π/2+k2π]	k∈ℤ	Các khoảng biến thiên của hàm sin.
cos giảm: [k2π;π+k2π]; cos tăng: [−π+k2π;k2π]	k∈ℤ	Các khoảng biến thiên của hàm cos.
tan tăng trên (−π/2+kπ;π/2+kπ)	k∈ℤ; loại hai đầu mút	Biến thiên của hàm tang trên từng nhánh.
cot giảm trên (kπ;(k+1)π)	k∈ℤ; loại hai đầu mút	Biến thiên của hàm côtang trên từng nhánh.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra tiền đề: Khái niệm hàm số, đồ thị, tập xác định và tập giá trị. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.
• Tự kiểm tra tiền đề: Giá trị lượng giác trên đường tròn. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì phải thử lại.
• Với hình không gian, viện dẫn quan hệ liên thuộc và đủ giả thiết của định lí; không suy từ hình vẽ.
• Kiểm trường hợp biên, đơn vị và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• Nếu A = 0 thì hàm trở thành hằng số, khái niệm biên độ dao động và chu kì cơ bản cần được diễn giải riêng.
• Nếu ω = 0 thì biểu thức không còn dao động theo x; công thức chu kì 2π/|ω| không áp dụng.
• Tại điểm bị loại khỏi miền xác định, đồ thị tan hoặc cot không có giá trị dù nhánh đồ thị tiến ra vô cực.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Hàm y = sin x không đồng biến trên ℝ: sin(π/2)=1 nhưng sin π=0 dù π/2<π.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Mô tả thủy triều, nhiệt độ theo mùa, vị trí trên vòng quay hoặc tín hiệu dao động khi chu kì và biên độ đã được xác định.

Minh họa trực quan

Đồ thị minh họa — Hàm số lượng giác

So sánh sin/cos có chu kì 360° với từng nhánh tan/cot chu kì 180°; khoảng trống ở đầu nhánh là điểm không xác định, không nối qua tiệm cận.

Bảng điểm dùng để dựng Đồ thị minh họa — Hàm số lượng giác

Dãy	x	y
y=sin x	-180	0
y=sin x	-165	-0.258819
y=sin x	-150	-0.5
y=sin x	-135	-0.707107
y=sin x	-120	-0.866025
y=sin x	-105	-0.965926
y=sin x	-90	-1
y=sin x	-75	-0.965926
y=sin x	-60	-0.866025
y=sin x	-45	-0.707107
y=sin x	-30	-0.5
y=sin x	-15	-0.258819
y=sin x	0	0
y=sin x	15	0.258819
y=sin x	30	0.5
y=sin x	45	0.707107
y=sin x	60	0.866025
y=sin x	75	0.965926
y=sin x	90	1
y=sin x	105	0.965926
y=sin x	120	0.866025
y=sin x	135	0.707107
y=sin x	150	0.5
y=sin x	165	0.258819
y=sin x	180	0
y=sin x	195	-0.258819
y=sin x	210	-0.5
y=sin x	225	-0.707107
y=sin x	240	-0.866025
y=sin x	255	-0.965926
y=sin x	270	-1
y=sin x	285	-0.965926
y=sin x	300	-0.866025
y=sin x	315	-0.707107
y=sin x	330	-0.5
y=sin x	345	-0.258819
y=sin x	360	0
y=cos x	-180	-1
y=cos x	-165	-0.965926
y=cos x	-150	-0.866025
y=cos x	-135	-0.707107
y=cos x	-120	-0.5
y=cos x	-105	-0.258819
y=cos x	-90	0
y=cos x	-75	0.258819
y=cos x	-60	0.5
y=cos x	-45	0.707107
y=cos x	-30	0.866025
y=cos x	-15	0.965926
y=cos x	0	1
y=cos x	15	0.965926
y=cos x	30	0.866025
y=cos x	45	0.707107
y=cos x	60	0.5
y=cos x	75	0.258819
y=cos x	90	0
y=cos x	105	-0.258819
y=cos x	120	-0.5
y=cos x	135	-0.707107
y=cos x	150	-0.866025
y=cos x	165	-0.965926
y=cos x	180	-1
y=cos x	195	-0.965926
y=cos x	210	-0.866025
y=cos x	225	-0.707107
y=cos x	240	-0.5
y=cos x	255	-0.258819
y=cos x	270	0
y=cos x	285	0.258819
y=cos x	300	0.5
y=cos x	315	0.707107
y=cos x	330	0.866025
y=cos x	345	0.965926
y=cos x	360	1
y=tan x, nhánh (−90°;90°)	-75	-3.732051
y=tan x, nhánh (−90°;90°)	-60	-1.732051
y=tan x, nhánh (−90°;90°)	-45	-1
y=tan x, nhánh (−90°;90°)	-30	-0.57735
y=tan x, nhánh (−90°;90°)	-15	-0.267949
y=tan x, nhánh (−90°;90°)	0	0
y=tan x, nhánh (−90°;90°)	15	0.267949
y=tan x, nhánh (−90°;90°)	30	0.57735
y=tan x, nhánh (−90°;90°)	45	1
y=tan x, nhánh (−90°;90°)	60	1.732051
y=tan x, nhánh (−90°;90°)	75	3.732051
y=tan x, nhánh (90°;270°)	105	-3.732051
y=tan x, nhánh (90°;270°)	120	-1.732051
y=tan x, nhánh (90°;270°)	135	-1
y=tan x, nhánh (90°;270°)	150	-0.57735
y=tan x, nhánh (90°;270°)	165	-0.267949
y=tan x, nhánh (90°;270°)	180	0
y=tan x, nhánh (90°;270°)	195	0.267949
y=tan x, nhánh (90°;270°)	210	0.57735
y=tan x, nhánh (90°;270°)	225	1
y=tan x, nhánh (90°;270°)	240	1.732051
y=tan x, nhánh (90°;270°)	255	3.732051
y=cot x, nhánh (0°;180°)	15	3.732051
y=cot x, nhánh (0°;180°)	30	1.732051
y=cot x, nhánh (0°;180°)	45	1
y=cot x, nhánh (0°;180°)	60	0.57735
y=cot x, nhánh (0°;180°)	75	0.267949
y=cot x, nhánh (0°;180°)	90	0
y=cot x, nhánh (0°;180°)	105	-0.267949
y=cot x, nhánh (0°;180°)	120	-0.57735
y=cot x, nhánh (0°;180°)	135	-1
y=cot x, nhánh (0°;180°)	150	-1.732051
y=cot x, nhánh (0°;180°)	165	-3.732051
y=cot x, nhánh (180°;360°)	195	3.732051
y=cot x, nhánh (180°;360°)	210	1.732051
y=cot x, nhánh (180°;360°)	225	1
y=cot x, nhánh (180°;360°)	240	0.57735
y=cot x, nhánh (180°;360°)	255	0.267949
y=cot x, nhánh (180°;360°)	270	0
y=cot x, nhánh (180°;360°)	285	-0.267949
y=cot x, nhánh (180°;360°)	300	-0.57735
y=cot x, nhánh (180°;360°)	315	-1
y=cot x, nhánh (180°;360°)	330	-1.732051
y=cot x, nhánh (180°;360°)	345	-3.732051

y=sin x y=cos x y=tan x, nhánh (−90°;90°) y=tan x, nhánh (90°;270°) y=cot x, nhánh (0°;180°) y=cot x, nhánh (180°;360°)

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Tìm tập xác định của y = tan(2x−π/3).

1. 1 Tang không xác định khi 2x−π/3 = π/2+kπ.
2. 2 Giải được 2x = 5π/6+kπ.
3. 3 Suy ra x = 5π/12+kπ/2.

Đáp án: D = ℝ\{5π/12+kπ/2 | k∈ℤ}.

Tự kiểm: Thay x = 5π/12+kπ/2 làm đối số bằng π/2+kπ, đúng là phải loại.

Ví dụ 2

Xác định chu kì, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của y = −3cos(4x)+2.

1. 1 Nhận ω = 4 nên T = 2π/4 = π/2.
2. 2 Biên độ là |−3| = 3 và đường trung bình là 2.
3. 3 Suy ra max = 2+3, min = 2−3.

Đáp án: T = π/2; giá trị lớn nhất 5, nhỏ nhất −1.

Tự kiểm: Vì cos nhận cả −1 và 1 nên y thật sự đạt −1 và 5.

Ví dụ 3

Xét tính chẵn lẻ của f(x)=sin x·tan x trên miền xác định.

1. 1 Miền xác định ℝ\{π/2+kπ} đối xứng qua 0.
2. 2 Tính f(−x)=sin(−x)tan(−x).
3. 3 Cả sin và tan đều lẻ nên tích bằng sin x tan x.

Đáp án: f là hàm chẵn trên miền xác định.

Tự kiểm: Với mọi x thuộc miền xác định, −x cũng thuộc miền và f(−x)=f(x).

Ví dụ 4

Một vòng quay có độ cao h(t)=1,8+1,2sin(πt/20) mét. Tìm chu kì và khoảng độ cao.

1. 1 Đọc ω = π/20.
2. 2 Tính T = 2π/(π/20)=40 giây.
3. 3 Đường trung bình 1,8 và biên độ 1,2 cho khoảng [0,6;3,0].

Đáp án: Chu kì 40 giây; 0,6 m ≤ h(t) ≤ 3,0 m.

Tự kiểm: Tại sin bằng −1 và 1, công thức lần lượt cho 0,6 m và 3,0 m.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Cho rằng chu kì của mọi hàm lượng giác đều là 2π.
• Sai lầm cần tránh: Vẽ đồ thị tan đi qua các điểm x = π/2+kπ.
• Sai lầm cần tránh: Đọc biên độ của A sin(ωx)+d là A dù A âm.
• Sai lầm cần tránh: Tính chu kì thành 2π/ω mà không lấy giá trị tuyệt đối.
• Sai lầm cần tránh: Khẳng định sin đồng biến trên toàn bộ ℝ.