Toán lớp 11: Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

Mục tiêu bài học

• Giải được phương trình sin x bằng m, cos x bằng m với điều kiện phù hợp.
• Giải được phương trình tan x bằng m, cot x bằng m với điều kiện xác định.
• Biểu diễn đủ họ nghiệm và tìm nghiệm trên khoảng hoặc đoạn cho trước.
• Vận dụng phương trình lượng giác cơ bản vào bài toán tuần hoàn đơn giản.

Kiến thức cần nhớ

• Giải phương trình lượng giác cơ bản là tìm mọi góc có cùng giá trị sin, cos, tan hoặc cot với góc đã biết. Nghiệm phải được viết với tham số nguyên.
• Hai phương trình được gọi là tương đương trên một miền đã cho khi chúng có cùng tập nghiệm trên miền ấy. Mọi dấu tương đương trong lời giải phải bảo toàn cả nghiệm lẫn điều kiện xác định, không chỉ tạo ra một phương trình dễ giải hơn.
• Có thể cộng cùng một biểu thức vào hai vế; có thể nhân hoặc chia hai vế cho một biểu thức đã biết khác 0 trên miền xét. Bình phương hai vế hoặc nhân với biểu thức có thể bằng 0 thường chỉ cho phương trình hệ quả và bắt buộc thử lại để loại nghiệm ngoại lai.
• Sin có cùng giá trị tại hai vị trí đối xứng qua trục tung của đường tròn, nên sin x = sin α tạo hai họ nghiệm; hai họ có thể trùng trong trường hợp đặc biệt.
• Cos có cùng giá trị tại hai góc đối nhau, nên cos x = cos α tương đương x = ±α theo môđun 2π.
• Tang và cot có chu kì π, vì vậy mỗi phương trình tan x = tan α hoặc cot x = cot α có một họ nghiệm theo môđun π khi các giá trị xác định.
• Với sin x = m hoặc cos x = m, phải kiểm tra |m|≤1. Nếu |m|>1 thì phương trình vô nghiệm trong tập số thực.
• Khi đề yêu cầu nghiệm trên một khoảng hoặc đoạn, trước hết viết nghiệm tổng quát, sau đó chặn tham số k và kiểm tra riêng các đầu mút.
• Các dạng tương đương thường dùng gồm sin u=0⇔u=kπ, cos u=0⇔u=π/2+kπ, tan u=0⇔u=kπ và cot u=0⇔u=π/2+kπ, luôn kèm điều kiện xác định của biểu thức ban đầu.
• Khi giá trị m không phải góc đặc biệt, dùng máy tính để tìm một góc đại diện α gần đúng rồi vẫn viết đủ họ nghiệm. Phải đặt đúng chế độ RAD cho radian hoặc DEG cho độ; kiểm tra bằng cách thế một nghiệm vào phương trình.
• Trong mô hình tuần hoàn, sau khi giải nghiệm tổng quát phải giao với miền thời gian thực tế, chẳng hạn t≥0 hoặc một chu kì quan sát; các nghiệm toán học ngoài miền không phải đáp án của bài toán.

Khởi động và dự đoán

• Phương trình sin x = 1/2 có vô số nghiệm; làm thế nào mô tả đủ tất cả các vòng quay?

Thuật ngữ và kí hiệu

phương trình lượng giác cơ bản họ nghiệm nghiệm tổng quát tham số nguyên khoảng nghiệm

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
sin x = sin α ⇔ x=α+k2π hoặc x=π−α+k2π	α thực, k∈ℤ	Hai họ nghiệm của phương trình sin.
cos x = cos α ⇔ x=±α+k2π	α thực, k∈ℤ	Hai họ nghiệm của phương trình cos.
tan x = tan α ⇔ x=α+kπ	tan α xác định, k∈ℤ	Nghiệm của phương trình tang.
cot x = cot α ⇔ x=α+kπ	cot α xác định, k∈ℤ	Nghiệm của phương trình cotang.
sin x=m hoặc cos x=m có nghiệm ⇔ |m|≤1	m là số thực	Điều kiện tồn tại nghiệm thực.
sin u=0⇔u=kπ; cos u=0⇔u=π/2+kπ	u là biểu thức thực; k∈ℤ	Hai phương trình lượng giác bằng 0.
tan u=0⇔u=kπ; cot u=0⇔u=π/2+kπ	Hai vế xác định; k∈ℤ	Hai phương trình tang và côtang bằng 0.
P(x)=Q(x) ⇔ P(x)+R(x)=Q(x)+R(x)	Các biểu thức xác định trên cùng miền đang xét	Cộng cùng một biểu thức vào hai vế tạo phương trình tương đương.
P(x)=Q(x) ⇔ P(x)R(x)=Q(x)R(x)	R(x)≠0 với mọi x trong miền đang xét	Nhân hai vế với nhân tử chắc chắn khác 0 mới bảo toàn tương đương.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra tiền đề: Công thức và đồ thị hàm lượng giác. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.
• Tự kiểm tra tiền đề: Phương trình đại số cơ bản. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì phải thử lại.
• Với hình không gian, viện dẫn quan hệ liên thuộc và đủ giả thiết của định lí; không suy từ hình vẽ.
• Kiểm trường hợp biên, đơn vị và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• Với sin x = 1, hai họ nghiệm trùng nhau và có thể viết gọn x=π/2+k2π.
• Với cos x = ±1, hai họ ±α có thể trùng theo môđun 2π.
• Phương trình tan x = m luôn có nghiệm thực với mọi m, khác với sin và cos.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Từ sin x=1/2 không thể suy ra chỉ x=π/6+k2π; góc 5π/6 cũng có sin bằng 1/2.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Xác định các thời điểm một dao động tuần hoàn đạt mức cho trước hoặc các vị trí của điểm quay có cùng tọa độ.

Minh họa trực quan

Đường tròn lượng giác — Phương trình lượng giác cơ bản

Hai điểm có cùng tung độ minh họa hai họ nghiệm của sin x=1/2.

Điểm M(α) có hoành độ cos α và tung độ sin α.

30°

150°

210°

330°

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Giải phương trình sin x = √3/2.

1. 1 Nhận √3/2 = sin(π/3).
2. 2 Áp dụng hai họ x=π/3+k2π hoặc x=π−π/3+k2π.
3. 3 Rút gọn họ thứ hai thành x=2π/3+k2π.

Đáp án: x=π/3+k2π hoặc x=2π/3+k2π, k∈ℤ.

Tự kiểm: Sin của π/3 và 2π/3 đều bằng √3/2; cộng 2π không đổi sin.

Ví dụ 2

Giải cos(2x)=−1/2.

1. 1 Viết −1/2 = cos(2π/3).
2. 2 Suy ra 2x=±2π/3+k2π.
3. 3 Chia hai vế cho 2.

Đáp án: x=±π/3+kπ, k∈ℤ.

Tự kiểm: Thay x=±π/3+kπ thì 2x=±2π/3+k2π, có cos bằng −1/2.

Ví dụ 3

Tìm nghiệm của tan(x−π/4)=1.

1. 1 Nhận 1 = tan(π/4).
2. 2 Suy ra x−π/4=π/4+kπ.
3. 3 Cộng π/4 vào hai vế.

Đáp án: x=π/2+kπ, k∈ℤ.

Tự kiểm: Đối số x−π/4=π/4+kπ không rơi vào điểm tang không xác định.

Ví dụ 4

Tìm các nghiệm của cos x=0 trên đoạn [−π;2π].

1. 1 Nghiệm tổng quát là x=π/2+kπ.
2. 2 Giải −π≤π/2+kπ≤2π được −3/2≤k≤3/2.
3. 3 Với k nguyên, lấy k=−1,0,1.

Đáp án: x∈{−π/2, π/2, 3π/2}.

Tự kiểm: Ba giá trị đều thuộc đoạn và có cos bằng 0; k=−2 hoặc 2 cho nghiệm ngoài đoạn.

Ví dụ 5

Giải gần đúng sin x=0,3 trên [0;2π), làm tròn đến 0,001 rad.

1. 1 Đặt máy tính ở chế độ RAD và tính α=arcsin(0,3)≈0,305.
2. 2 Hai họ trong một vòng là x=α và x=π−α.
3. 3 Tính π−α≈2,837 rồi kiểm tra cả hai giá trị thuộc [0;2π).

Đáp án: x≈0,305 hoặc x≈2,837.

Tự kiểm: Máy tính cho sin(0,305) và sin(2,837) đều xấp xỉ 0,3; không trộn chế độ DEG.

Ví dụ 6

Mực nước được mô hình bởi h(t)=2+sin(πt/6) mét, với 0≤t<12 giờ. Tìm thời điểm h(t)=2,5 m.

1. 1 Đưa về sin(πt/6)=1/2.
2. 2 Vì 0≤t<12 nên 0≤πt/6<2π; trong một vòng, góc có sin bằng 1/2 là π/6 hoặc 5π/6.
3. 3 Giải πt/6=π/6 hoặc πt/6=5π/6, nhận t=1 hoặc t=5.

Đáp án: Mực nước đạt 2,5 m tại t=1 giờ và t=5 giờ.

Tự kiểm: Thế t=1 và t=5 đều cho sin bằng 1/2; các họ nghiệm khác nằm ngoài miền thời gian [0;12).

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Viết sin x = sin α chỉ có nghiệm x = α+k2π.
• Sai lầm cần tránh: Dùng chu kì 2π cho phương trình tan hoặc cot.
• Sai lầm cần tránh: Không kiểm tra |m|≤1 trước khi giải sin x=m hay cos x=m.
• Sai lầm cần tránh: Quên k∈ℤ hoặc dùng cùng một k để ràng buộc sai hai họ độc lập.
• Sai lầm cần tránh: Liệt kê nghiệm trên đoạn nhưng bỏ hoặc lấy thừa đầu mút.