Toán lớp 11: Bài 5: Dãy số

Mục tiêu bài học

• Nhận biết được dãy hữu hạn, dãy vô hạn và chỉ số bắt đầu của dãy.
• Tìm được số hạng từ bảng, mô tả, công thức tường minh hoặc hệ thức truy hồi.
• Xét được tính tăng, giảm của một số dãy đơn giản bằng hiệu hoặc so sánh trực tiếp.
• Nhận biết được dãy bị chặn trên, bị chặn dưới trong trường hợp đơn giản.

Kiến thức cần nhớ

• Dãy số là một hàm số xác định trên tập số nguyên dương hoặc một tập chỉ số nguyên liên tiếp. Giá trị tại n được gọi là số hạng thứ n và kí hiệu uₙ.
• Dãy có thể cho bằng công thức số hạng tổng quát, bằng hệ thức truy hồi kèm đủ số hạng đầu, bằng mô tả hoặc bảng. Hệ thức truy hồi thiếu điều kiện đầu chưa xác định duy nhất một dãy.
• Muốn tìm một số hạng từ công thức tổng quát, thay đúng chỉ số n. Muốn tìm từ truy hồi, tính tuần tự và luôn tôn trọng chỉ số bắt đầu.
• Dãy tăng khi uₙ₊₁>uₙ với mọi chỉ số hợp lệ, giảm khi uₙ₊₁<uₙ. Nếu dùng dấu không nghiêm ngặt thì gọi là không giảm hoặc không tăng, không được lẫn hai khái niệm.
• Dãy bị chặn trên nếu có M sao cho uₙ≤M với mọi n; bị chặn dưới nếu có m sao cho uₙ≥m. Dãy bị chặn khi đồng thời bị chặn trên và dưới.
• Một vài số hạng đầu chỉ gợi ý quy luật chứ không chứng minh được công thức cho toàn dãy. Mọi kết luận về đơn điệu hoặc bị chặn phải dựa trên biểu thức chung.
• Dãy hữu hạn chỉ có một số hữu hạn số hạng, thường có tập chỉ số {m,m+1,…,n}; dãy vô hạn tiếp tục với mọi chỉ số từ một mốc trở đi. Nếu chỉ số bắt đầu từ 0 thay vì 1, mọi công thức và số hạng đầu phải được đọc theo đúng quy ước đó.

Khởi động và dự đoán

• Dãy số 2, 5, 10, 17, ... có thể được mô tả bằng quy luật nào để tìm số hạng thứ 20 mà không liệt kê từng bước?

Thuật ngữ và kí hiệu

dãy số số hạng chỉ số công thức tổng quát hệ thức truy hồi dãy tăng dãy giảm dãy bị chặn

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
uₙ=f(n)	n thuộc tập chỉ số của dãy	Mô tả số hạng tổng quát của dãy.
uₙ₊₁=g(uₙ), u₁=a	n≥1 và giá trị đầu a đã cho	Mô tả truy hồi bậc một xác định dãy.
uₙ₊₁−uₙ>0	Bất đẳng thức đúng với mọi n hợp lệ	Tiêu chuẩn trực tiếp để chứng minh dãy tăng.
m≤uₙ≤M	Tồn tại hai hằng số m, M độc lập với n và đúng với mọi n	Chứng minh dãy bị chặn.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra tiền đề: Hàm số trên tập số tự nhiên. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.
• Tự kiểm tra tiền đề: Biến đổi biểu thức và bất đẳng thức đơn giản. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì phải thử lại.
• Với hình không gian, viện dẫn quan hệ liên thuộc và đủ giả thiết của định lí; không suy từ hình vẽ.
• Kiểm trường hợp biên, đơn vị và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• Dãy hằng uₙ=c vừa không giảm vừa không tăng, nhưng không tăng nghiêm ngặt và không giảm nghiêm ngặt.
• Một dãy có thể bị chặn nhưng không đơn điệu, chẳng hạn uₙ=(−1)ⁿ.
• Tập chỉ số có thể bắt đầu từ 0 nếu đề nêu rõ; khi đó phải điều chỉnh công thức theo chỉ số.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Dãy 1, 2, 3, 4, 0, 6, ... cho thấy bốn số hạng đầu tăng không đủ để kết luận dãy tăng.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Mô tả số tiền tích lũy theo tháng, số cá thể qua từng chu kì hoặc số ô trong một mẫu hình rời rạc.

Minh họa trực quan

Đồ thị minh họa — Dãy số

Dãy chỉ gồm các điểm rời rạc; không nối chúng thành hàm liên tục.

Bảng điểm dùng để dựng Đồ thị minh họa — Dãy số

Dãy	x	y
uₙ=(-1)ⁿ	1	-1
uₙ=(-1)ⁿ	2	1
uₙ=(-1)ⁿ	3	-1
uₙ=(-1)ⁿ	4	1
uₙ=(-1)ⁿ	5	-1
uₙ=(-1)ⁿ	6	1

uₙ=(-1)ⁿ

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Cho uₙ=n²+1. Tính u₁, u₄ và u₁₀.

1. 1 Thay n=1 được u₁=1²+1.
2. 2 Thay n=4 được u₄=4²+1.
3. 3 Thay n=10 được u₁₀=10²+1.

Đáp án: u₁=2, u₄=17, u₁₀=101.

Tự kiểm: Các giá trị khớp trực tiếp công thức với chỉ số tương ứng.

Ví dụ 2

Cho u₁=3, uₙ₊₁=2uₙ−1. Tính bốn số hạng đầu.

1. 1 Bắt đầu u₁=3.
2. 2 Tính u₂=2·3−1=5 và u₃=2·5−1=9.
3. 3 Tính u₄=2·9−1=17.

Đáp án: Bốn số hạng đầu là 3, 5, 9, 17.

Tự kiểm: Mỗi số hạng sau đều bằng hai lần số ngay trước rồi trừ 1.

Ví dụ 3

Chứng minh dãy uₙ=3n−2 là dãy tăng.

1. 1 Tính uₙ₊₁=3(n+1)−2=3n+1.
2. 2 Lập hiệu uₙ₊₁−uₙ=(3n+1)−(3n−2).
3. 3 Hiệu bằng 3>0 với mọi n≥1.

Đáp án: Dãy uₙ=3n−2 tăng nghiêm ngặt.

Tự kiểm: Điều kiện uₙ₊₁>uₙ đúng với mọi chỉ số nguyên dương.

Ví dụ 4

Chứng minh dãy uₙ=n/(n+1) bị chặn.

1. 1 Với n≥1, cả n và n+1 dương nên uₙ>0.
2. 2 Viết uₙ=1−1/(n+1).
3. 3 Vì 1/(n+1)>0 nên uₙ<1.

Đáp án: 0<uₙ<1 với mọi n≥1, nên dãy bị chặn.

Tự kiểm: Hai cận 0 và 1 là các hằng số không phụ thuộc n.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Nhầm uₙ với tổng u₁+u₂+⋯+uₙ.
• Sai lầm cần tránh: Dùng truy hồi nhưng quên số hạng đầu nên cho rằng dãy đã xác định.
• Sai lầm cần tránh: Thấy ba số hạng đầu tăng rồi kết luận dãy tăng.
• Sai lầm cần tránh: Chứng minh uₙ>0 rồi kết luận dãy tăng.
• Sai lầm cần tránh: Cho cận M phụ thuộc vào n và gọi đó là chặn trên.