Toán lớp 11: Bài 6: Cấp số cộng

Mục tiêu bài học

• Nhận biết được cấp số cộng và xác định được công sai.
• Tính được số hạng tổng quát từ số hạng đầu và công sai.
• Tính được tổng n số hạng đầu và tìm tham số từ dữ kiện.
• Mô hình hóa được tình huống tăng hoặc giảm tuyến tính rời rạc.

Kiến thức cần nhớ

• Cấp số cộng là dãy mà hiệu giữa một số hạng và số hạng ngay trước luôn bằng một hằng số d, gọi là công sai.
• Từ số hạng đầu u₁ và công sai d, số hạng thứ n bằng u₁ cộng n−1 lần công sai. Công thức phản ánh có đúng n−1 bước từ vị trí 1 đến vị trí n.
• Ba số a, b, c liên tiếp theo thứ tự lập cấp số cộng khi b là trung bình cộng của a và c, tương đương a+c=2b.
• Tổng n số hạng đầu có thể ghép các cặp đầu–cuối cùng tổng; công thức dùng được cả khi d âm hoặc bằng 0.
• Dấu của d quyết định đơn điệu: d>0 thì tăng, d<0 thì giảm, d=0 thì dãy hằng. Điều này chỉ dành cho cấp số cộng đã được xác nhận.
• Khi mô hình hóa, phải kiểm tra đại lượng thật sự tăng hoặc giảm một lượng không đổi theo mỗi bước; tăng theo tỉ lệ phần trăm không tạo cấp số cộng.

Khởi động và dự đoán

• Một khán phòng có hàng đầu 18 ghế và mỗi hàng sau nhiều hơn hàng trước 2 ghế. Hàng thứ n có bao nhiêu ghế?

Thuật ngữ và kí hiệu

cấp số cộng công sai số hạng tổng quát số hạng trung gian tổng n số hạng đầu

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
uₙ₊₁=uₙ+d	n≥1 và d không đổi	Định nghĩa truy hồi của cấp số cộng.
uₙ=u₁+(n−1)d	n≥1	Tính trực tiếp số hạng thứ n.
2uₖ=uₖ₋₁+uₖ₊₁	k≥2 và ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng	Tính chất số hạng ở giữa.
Sₙ=n(u₁+uₙ)/2	n là số nguyên dương	Tổng n số hạng đầu khi biết hai đầu.
Sₙ=n[2u₁+(n−1)d]/2	n là số nguyên dương	Tổng n số hạng đầu khi biết u₁ và d.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra tiền đề: Dãy số và công thức theo chỉ số. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.
• Tự kiểm tra tiền đề: Phương trình bậc nhất. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì phải thử lại.
• Với hình không gian, viện dẫn quan hệ liên thuộc và đủ giả thiết của định lí; không suy từ hình vẽ.
• Kiểm trường hợp biên, đơn vị và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• Khi d=0, mọi số hạng bằng u₁ và công thức tổng trở thành Sₙ=nu₁.
• Công sai âm hoàn toàn hợp lệ; số hạng hoặc tổng có thể đổi dấu.
• Nếu biết u_p và u_q với p≠q thì d=(u_q−u_p)/(q−p), không chỉ là u_q−u_p.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Dãy 2, 4, 8 không phải cấp số cộng dù các số hạng đều tăng; hai hiệu liên tiếp là 2 và 4.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Tính số ghế theo hàng, số viên gạch theo tầng hoặc khoản tiền tăng thêm một lượng cố định mỗi tháng.

Minh họa trực quan

Đồ thị minh họa — Cấp số cộng

Hiệu giữa hai tung độ liên tiếp luôn bằng công sai d=3.

Bảng điểm dùng để dựng Đồ thị minh họa — Cấp số cộng

Dãy	x	y
uₙ=2+3(n−1)	1	2
uₙ=2+3(n−1)	2	5
uₙ=2+3(n−1)	3	8
uₙ=2+3(n−1)	4	11
uₙ=2+3(n−1)	5	14

uₙ=2+3(n−1)

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Cấp số cộng có u₁=7, d=−3. Tìm u₁₅.

1. 1 Dùng uₙ=u₁+(n−1)d.
2. 2 Thay n=15: u₁₅=7+14·(−3).
3. 3 Tính 7−42=−35.

Đáp án: u₁₅=−35.

Tự kiểm: Từ u₁ đến u₁₅ có 14 bước, mỗi bước giảm 3 nên tổng mức giảm là 42.

Ví dụ 2

Một cấp số cộng có u₄=11 và u₉=31. Tìm u₁ và d.

1. 1 Lập u₄=u₁+3d=11 và u₉=u₁+8d=31.
2. 2 Lấy phương trình sau trừ trước: 5d=20 nên d=4.
3. 3 Thế vào u₁+3d=11 được u₁=−1.

Đáp án: u₁=−1, d=4.

Tự kiểm: u₄=−1+12=11 và u₉=−1+32=31, khớp dữ kiện.

Ví dụ 3

Tính tổng 30 số hạng đầu của cấp số cộng 5, 8, 11, ...

1. 1 Nhận u₁=5, d=3.
2. 2 Tính u₃₀=5+29·3=92.
3. 3 Dùng S₃₀=30(5+92)/2.

Đáp án: S₃₀=1455.

Tự kiểm: Dạng thứ hai cho 30[10+87]/2=1455.

Ví dụ 4

Hàng đầu của khán phòng có 18 ghế, mỗi hàng sau thêm 2 ghế. Tính tổng số ghế của 20 hàng.

1. 1 Mô hình là cấp số cộng với u₁=18, d=2.
2. 2 Tính u₂₀=18+19·2=56.
3. 3 Tính S₂₀=20(18+56)/2.

Đáp án: Khán phòng có 740 ghế trong 20 hàng.

Tự kiểm: Số ghế trung bình mỗi hàng là (18+56)/2=37; 37·20=740.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Viết uₙ=u₁+nd và dư một công sai.
• Sai lầm cần tránh: Nhầm công sai với tỉ số uₙ₊₁/uₙ.
• Sai lầm cần tránh: Dùng n(u₁+uₙ) mà quên chia 2 trong công thức tổng.
• Sai lầm cần tránh: Từ hai số hạng bất kì suy ra công sai bằng hiệu của chúng mà không chia khoảng cách chỉ số.
• Sai lầm cần tránh: Coi tăng 5% mỗi kì là tăng thêm một lượng cố định.