Toán lớp 11: Bài 7: Cấp số nhân

Mục tiêu bài học

• Nhận biết được cấp số nhân và xác định được công bội khi phép chia hợp lệ.
• Tính được số hạng tổng quát từ số hạng đầu và công bội.
• Tính được tổng n số hạng đầu, tách đúng trường hợp công bội bằng 1.
• Mô hình hóa được tăng trưởng, suy giảm và lãi kép bằng cấp số nhân.

Kiến thức cần nhớ

• Cấp số nhân là dãy mà mỗi số hạng từ số hạng thứ hai bằng số hạng ngay trước nhân với một hằng số q, gọi là công bội.
• Từ u₁ và q, số hạng thứ n bằng u₁ nhân q đúng n−1 lần. Nếu u₁ khác 0 thì có thể nhận biết công bội bằng tỉ số hai số hạng liên tiếp.
• Ba số a, b, c liên tiếp của một cấp số nhân thỏa b²=ac. Chiều đảo cần thận trọng khi số hạng bằng 0 vì tỉ số có thể không xác định.
• Tổng hữu hạn n số hạng đầu được suy ra bằng cách nhân tổng với q rồi trừ. Cần tách riêng q=1 vì công thức phân thức có mẫu 1−q.
• Dấu và độ lớn của q quyết định hình dạng dãy: q>1 khuếch đại độ lớn, 0<q<1 làm độ lớn giảm, q<0 khiến dấu luân phiên. Kết luận đơn điệu còn phụ thuộc u₁.
• Tăng hoặc giảm theo cùng một tỉ lệ qua từng giai đoạn tạo cấp số nhân. Với r≥0, tăng r% tương ứng công bội 1+r/100; với một đại lượng không âm giảm r% mà không đổi dấu, cần 0≤r≤100 và công bội 1−r/100.

Khởi động và dự đoán

• Một quần thể ban đầu có 500 cá thể và sau mỗi giai đoạn bằng 1,08 lần giai đoạn trước. Quy luật này khác cấp số cộng ở đâu?

Thuật ngữ và kí hiệu

cấp số nhân công bội số hạng tổng quát trung bình nhân tổng hữu hạn tăng trưởng theo tỉ lệ

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
uₙ₊₁=q·uₙ	n≥1 và q không đổi	Định nghĩa truy hồi của cấp số nhân.
uₙ=u₁qⁿ⁻¹	n≥2 với mọi q; riêng n=1 lấy u₁ trực tiếp. Nếu q≠0, công thức cũng dùng được với n=1	Tính trực tiếp số hạng thứ n mà không tạo biểu thức 0⁰ khi q=0,n=1.
uₖ²=uₖ₋₁uₖ₊₁	k≥2 và ba số hạng liên tiếp thuộc một cấp số nhân	Tính chất số hạng ở giữa.
Sₙ=u₁(1−qⁿ)/(1−q)	n nguyên dương và q≠1	Tổng hữu hạn n số hạng đầu.
Sₙ=nu₁	n nguyên dương và q=1	Tổng hữu hạn trong trường hợp dãy hằng.
q=1+r/100 khi tăng; q=1−r/100 khi giảm	r≥0 trong mô hình tăng; 0≤r≤100 khi mô hình một đại lượng không âm giảm mà không đổi dấu	Đổi tỉ lệ phần trăm thành công bội với miền tham số đúng ngữ nghĩa.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra tiền đề: Dãy số. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.
• Tự kiểm tra tiền đề: Lũy thừa với số mũ nguyên. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.
• Tự kiểm tra tiền đề: Phần trăm và lãi suất cơ bản. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì phải thử lại.
• Với hình không gian, viện dẫn quan hệ liên thuộc và đủ giả thiết của định lí; không suy từ hình vẽ.
• Kiểm trường hợp biên, đơn vị và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• Nếu u₁=0 thì toàn bộ dãy bằng 0 với mọi q, nên dữ liệu dãy không xác định duy nhất công bội.
• Nếu q=0 thì u₂,u₃,... đều bằng 0; tỉ số hai số hạng sau không dùng được để tìm q.
• Với q<0, các số hạng khác 0 đổi dấu luân phiên nên dãy thường không đơn điệu.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Dãy 1, −2, 4, −8 là cấp số nhân công bội −2 nhưng không tăng cũng không giảm.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Mô hình hóa lãi kép theo kì, tăng trưởng quần thể, suy giảm giá trị thiết bị hoặc độ mạnh còn lại sau các lần truyền.

Minh họa trực quan

Đồ thị minh họa — Cấp số nhân

Tỉ số giữa hai số hạng liên tiếp luôn bằng công bội q=2.

Bảng điểm dùng để dựng Đồ thị minh họa — Cấp số nhân

Dãy	x	y
uₙ=2ⁿ⁻¹	1	1
uₙ=2ⁿ⁻¹	2	2
uₙ=2ⁿ⁻¹	3	4
uₙ=2ⁿ⁻¹	4	8
uₙ=2ⁿ⁻¹	5	16

uₙ=2ⁿ⁻¹

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Cấp số nhân có u₁=3, q=−2. Tìm u₆.

1. 1 Dùng uₙ=u₁qⁿ⁻¹.
2. 2 Thay n=6: u₆=3(−2)⁵.
3. 3 Tính (−2)⁵=−32 rồi nhân 3.

Đáp án: u₆=−96.

Tự kiểm: Liệt kê 3, −6, 12, −24, 48, −96 cho cùng kết quả.

Ví dụ 2

Cấp số nhân có u₃=12 và u₆=96, các số hạng dương. Tìm q và u₁.

1. 1 Dùng u₆/u₃=q³=96/12=8.
2. 2 Vì các số hạng dương, lấy q=2.
3. 3 Từ u₃=u₁q² suy ra u₁=12/4=3.

Đáp án: q=2 và u₁=3.

Tự kiểm: u₆=3·2⁵=96 và u₃=3·2²=12.

Ví dụ 3

Tính tổng 8 số hạng đầu của cấp số nhân 2, 6, 18, ...

1. 1 Nhận u₁=2, q=3.
2. 2 Áp dụng S₈=2(1−3⁸)/(1−3).
3. 3 Tính 3⁸=6561 và rút gọn.

Đáp án: S₈=6560.

Tự kiểm: Công thức tương đương S₈=2(3⁸−1)/(3−1)=6560.

Ví dụ 4

Một thiết bị trị giá 40 triệu đồng, sau mỗi năm còn 85% giá trị năm trước. Tính giá trị sau 4 năm.

1. 1 Công bội suy giảm là q=0,85.
2. 2 Sau 4 năm có bốn lần nhân nên giá trị là 40·0,85⁴.
3. 3 Tính 0,85⁴=0,52200625.

Đáp án: Giá trị xấp xỉ 20,88 triệu đồng.

Tự kiểm: Kết quả dương và nhỏ hơn 40 triệu, phù hợp quy luật giảm 15% mỗi năm.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Viết uₙ=u₁qⁿ và dư một lần nhân q.
• Sai lầm cần tránh: Nhầm công bội với hiệu uₙ₊₁−uₙ.
• Sai lầm cần tránh: Áp dụng công thức tổng có mẫu 1−q khi q=1.
• Sai lầm cần tránh: Cho rằng q<1 luôn làm dãy giảm mà bỏ qua q âm hoặc u₁ âm.
• Sai lầm cần tránh: Dùng q=1−r thay vì 1−r/100 khi r cho theo phần trăm.