Toán lớp 11: Bài 8: Mẫu số liệu ghép nhóm

Mục tiêu bài học

• Đọc được khoảng lớp, tần số và tổng số quan sát từ bảng ghép nhóm.
• Xác định được giá trị đại diện của một nhóm khi phù hợp.
• Chuyển được mẫu số liệu sang dạng ghép nhóm với các lớp không chồng lấn.
• Giải thích được thông tin bị mất và tính xấp xỉ khi ghép nhóm.

Kiến thức cần nhớ

• Mẫu số liệu ghép nhóm thay danh sách giá trị riêng lẻ bằng các lớp, thường là những nửa khoảng liên tiếp, cùng tần số hoặc tần suất của từng lớp.
• Các lớp phải bao phủ miền dữ liệu cần xét, không chồng lấn và có quy ước đầu mút rõ ràng. Dạng [a;b) nhận a nhưng không nhận b giúp mỗi giá trị biên thuộc đúng một lớp.
• Tần số của một nhóm là số quan sát rơi vào nhóm ấy; tổng mọi tần số phải bằng cỡ mẫu. Tần suất bằng tần số chia cỡ mẫu và tổng các tần suất bằng 1, sai khác nhỏ có thể do làm tròn.
• Độ dài nhóm là hiệu hai đầu mút. Khi các nhóm có cùng độ dài, việc so sánh tần số trực tiếp phản ánh mức tập trung; nếu độ dài khác nhau, biểu đồ cần được diễn giải thận trọng.
• Giá trị đại diện của nhóm thường lấy trung điểm hai đầu mút. Đây là giá trị quy ước để ước lượng ở bài sau, không khẳng định mọi quan sát trong nhóm đều bằng trung điểm.
• Ghép nhóm làm dữ liệu gọn và bảo vệ phần nào thông tin cá nhân, nhưng đánh mất giá trị chính xác và thứ tự bên trong từng nhóm. Vì thế hai mẫu khác nhau có thể cho cùng bảng ghép nhóm.

Khởi động và dự đoán

• Danh sách 200 chiều cao riêng lẻ khó quan sát; ghép thành các khoảng giúp nhìn cấu trúc dữ liệu nhưng làm mất điều gì?

Thuật ngữ và kí hiệu

mẫu số liệu ghép nhóm lớp đầu mút tần số tần suất cỡ mẫu độ dài nhóm giá trị đại diện

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
n=n₁+n₂+⋯+nₖ	nᵢ là tần số của k nhóm rời nhau và phủ hết mẫu	Kiểm tra tổng tần số bằng cỡ mẫu.
fᵢ=nᵢ/n	n>0	Tần suất của nhóm thứ i.
h=b−a	Nhóm có hai đầu mút a<b	Độ dài của nhóm.
xᵢ=(a+b)/2	Nhóm [a;b) hoặc nhóm có hai đầu mút hữu hạn a,b	Giá trị đại diện theo trung điểm.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra tiền đề: Bảng tần số và biểu đồ thống kê. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.
• Tự kiểm tra tiền đề: Khoảng, đoạn và trung điểm. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì phải thử lại.
• Với hình không gian, viện dẫn quan hệ liên thuộc và đủ giả thiết của định lí; không suy từ hình vẽ.
• Kiểm trường hợp biên, đơn vị và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• Giá trị bằng đầu mút chung b thuộc [b;c), không thuộc [a;b) theo quy ước nửa kín nửa hở.
• Nhóm cuối có thể viết [a;b] để nhận giá trị lớn nhất, nhưng quy ước phải được nêu rõ.
• Nếu có giá trị ngoại lệ xa phần còn lại, việc chọn nhóm quá rộng có thể che khuất nó.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Hai mẫu {1,1,4,4} và {2,2,3,3} đều cho tần số 4 trong nhóm [0;5), nên bảng một nhóm không thể khôi phục dữ liệu gốc.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Tóm tắt chiều cao, thời gian di chuyển, điểm kiểm tra hoặc lượng tiêu thụ của một nhóm đông để quan sát phân bố.

Minh họa trực quan

Phân bố tần số ghép nhóm — Mẫu số liệu ghép nhóm

Mỗi thanh ngang ứng với một lớp; độ dài thanh biểu diễn tần số.

[0;10)

4

[10;20)

7

[20;30)

10

[30;40)

6

[40;50)

3

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Ghép các giá trị 12, 15, 19, 20, 22, 27, 30 vào các nhóm [10;20), [20;30), [30;40].

1. 1 Nhóm đầu nhận 12, 15, 19 nên có tần số 3.
2. 2 Nhóm hai nhận 20, 22, 27 nên có tần số 3.
3. 3 Nhóm cuối nhận 30 nên có tần số 1.

Đáp án: Các tần số lần lượt là 3, 3, 1.

Tự kiểm: Tổng tần số 3+3+1=7, đúng bằng số quan sát.

Ví dụ 2

Một bảng có các tần số 8, 12, 15, 5. Tính cỡ mẫu và tần suất nhóm thứ ba.

1. 1 Cộng tần số: n=8+12+15+5.
2. 2 Nhận n=40.
3. 3 Tính f₃=15/40=0,375.

Đáp án: Cỡ mẫu 40; tần suất nhóm ba là 37,5%.

Tự kiểm: Các tần số còn lại chiếm 25/40=62,5%; tổng là 100%.

Ví dụ 3

Tìm độ dài và giá trị đại diện của nhóm [45;55).

1. 1 Xác định hai đầu mút a=45, b=55.
2. 2 Tính độ dài h=55−45=10.
3. 3 Tính trung điểm x=(45+55)/2=50.

Đáp án: Độ dài nhóm là 10; giá trị đại diện là 50.

Tự kiểm: Khoảng cách từ 50 đến mỗi đầu mút đều bằng 5.

Ví dụ 4

Các nhóm [0;5), [5;10), [10;15) có tần suất 0,20; 0,45; 0,35 trong mẫu 80 phần tử. Tìm tần số.

1. 1 Nhân từng tần suất với n=80.
2. 2 Nhận 0,20·80=16 và 0,45·80=36.
3. 3 Nhận 0,35·80=28.

Đáp án: Các tần số là 16, 36, 28.

Tự kiểm: 16+36+28=80 và 0,20+0,45+0,35=1.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Lập các nhóm chồng lấn như [10;20] và [20;30] khiến giá trị 20 bị đếm hai lần.
• Sai lầm cần tránh: Bỏ quên một giá trị đúng tại đầu mút phải của nhóm cuối.
• Sai lầm cần tránh: Cộng tần suất không được 1 nhưng không kiểm tra phép đếm hoặc sai số làm tròn.
• Sai lầm cần tránh: Coi trung điểm nhóm là giá trị thật của mọi quan sát trong nhóm.
• Sai lầm cần tránh: So sánh tần số của các cột có độ dài nhóm khác nhau như thể chúng hoàn toàn tương đương.