Toán lớp 11: Bài 9: Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Mục tiêu bài học

• Tính và diễn giải được số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm.
• Ước lượng được trung vị và tứ phân vị theo quy ước của SGK.
• Xác định và diễn giải được mốt của mẫu ghép nhóm.
• So sánh được các nhóm dữ liệu bằng số đo xu thế trung tâm và nêu giới hạn.

Kiến thức cần nhớ

• Số trung bình của mẫu ghép nhóm được ước lượng bằng trung bình có trọng số của các giá trị đại diện, trong đó trọng số là tần số nhóm.
• Trung vị nằm trong nhóm mà tần số tích lũy lần đầu đạt ít nhất n/2. Nội suy đều trong nhóm trung vị cho một giá trị ước lượng, không phải giá trị chính xác của mẫu gốc.
• Các tứ phân vị Q₁, Q₂, Q₃ chia mẫu theo các vị trí n/4, n/2, 3n/4. Với bảng ghép nhóm, tìm nhóm chứa vị trí rồi nội suy tương tự trung vị; Q₂ chính là trung vị.
• Mốt ghép nhóm được ước lượng trong nhóm có tần số lớn nhất, có điều chỉnh theo chênh lệch với hai nhóm kề. Công thức chuẩn thuận lợi nhất khi các nhóm có cùng độ dài.
• Mỗi số đặc trưng trả lời câu hỏi khác nhau: trung bình dùng toàn bộ nhóm và nhạy với nhóm cực trị; trung vị phản ánh vị trí giữa; mốt mô tả vùng tập trung phổ biến.
• Kết quả từ số liệu ghép nhóm cần được ghi là gần đúng và giữ đơn vị của biến. Bài này không suy ra phương sai của mẫu ghép nhóm. Bài này cũng không suy ra độ lệch chuẩn của mẫu ghép nhóm.

Khởi động và dự đoán

• Khi dữ liệu chỉ còn các khoảng và tần số, số trung bình, trung vị, tứ phân vị và mốt được ước lượng ra sao?

Thuật ngữ và kí hiệu

số trung bình ghép nhóm tần số tích lũy nhóm trung vị tứ phân vị nhóm chứa tứ phân vị nhóm mốt nội suy

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
x̄≈(n₁x₁+n₂x₂+⋯+nₖxₖ)/n	xᵢ là trung điểm nhóm, nᵢ là tần số và n=Σnᵢ>0	Ước lượng số trung bình mẫu ghép nhóm.
Me≈L+[(n/2−F)/f]h	L là đầu trái nhóm trung vị, F là tần số tích lũy trước nhóm, f>0 là tần số nhóm, h là độ dài nhóm	Nội suy trung vị trong nhóm chứa vị trí n/2.
Qⱼ≈L+[(jn/4−F)/f]h, j=1,2,3	L,F,f,h lấy tại nhóm chứa vị trí jn/4 và f>0	Nội suy tứ phân vị thứ j.
Mo≈L+[(fₘ−fₘ₋₁)/((fₘ−fₘ₋₁)+(fₘ−fₘ₊₁))]h	Nhóm mốt duy nhất ở giữa, các nhóm kề cùng độ dài h và fₘ>fₘ₋₁, fₘ>fₘ₊₁	Ước lượng mốt từ nhóm có tần số lớn nhất duy nhất.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra tiền đề: Mẫu số liệu ghép nhóm. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.
• Tự kiểm tra tiền đề: Số trung bình, trung vị, tứ phân vị và mốt của mẫu không ghép nhóm. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì phải thử lại.
• Với hình không gian, viện dẫn quan hệ liên thuộc và đủ giả thiết của định lí; không suy từ hình vẽ.
• Kiểm trường hợp biên, đơn vị và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• Nếu vị trí phân vị rơi đúng ranh giới hai nhóm, quy ước nội suy nhất quán phải cho chính ranh giới ấy.
• Nếu nhiều nhóm cùng đạt tần số lớn nhất, mẫu có thể không có một nhóm mốt duy nhất; không áp dụng máy móc công thức một đỉnh.
• Nhóm mốt ở đầu hoặc cuối bảng thiếu một nhóm kề, nên cần mô tả riêng thay vì thế công thức nội bộ.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Nhóm có tần số lớn nhất không nhất thiết chứa trung vị: tần số tích lũy, chứ không phải riêng chiều cao một cột, quyết định nhóm trung vị.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Tóm tắt mức thu nhập, thời gian học, chiều cao hoặc điểm số đã ghép nhóm để so sánh vị trí trung tâm giữa các tập thể.

Minh họa trực quan

Phân bố tần số ghép nhóm — Các số đặc trưng đo xu thế trung tâm

Lớp có thanh dài nhất chứa mốt ghép nhóm; trung vị còn phụ thuộc tần số tích lũy.

[5;10)

3

[10;15)

8

[15;20)

12

[20;25)

7

[25;30)

2

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Các nhóm [0;10), [10;20), [20;30) có tần số 2, 5, 3. Ước lượng số trung bình.

1. 1 Lấy các trung điểm 5, 15, 25.
2. 2 Tính tổng có trọng số 2·5+5·15+3·25=160.
3. 3 Chia cho n=10.

Đáp án: Số trung bình ước lượng là 16.

Tự kiểm: 16 nằm trong miền từ 0 đến 30 và tổng trọng số đã dùng đủ 10 quan sát.

Ví dụ 2

Các nhóm [0;10), [10;20), [20;30), [30;40) có tần số 4, 8, 6, 2. Ước lượng trung vị.

1. 1 Cỡ mẫu n=20 nên vị trí trung vị là 10.
2. 2 Tần số tích lũy 4, 12 nên nhóm trung vị là [10;20), với L=10, F=4, f=8, h=10.
3. 3 Nội suy Me=10+((10−4)/8)·10.

Đáp án: Me≈17,5.

Tự kiểm: Giá trị 17,5 nằm trong nhóm trung vị [10;20).

Ví dụ 3

Với cùng bảng tần số 4, 8, 6, 2 trên các nhóm rộng 10, ước lượng Q₃.

1. 1 Vị trí Q₃ là 3n/4=15.
2. 2 Tần số tích lũy trước nhóm [20;30) là 12, nên L=20, F=12, f=6, h=10.
3. 3 Nội suy Q₃=20+((15−12)/6)·10.

Đáp án: Q₃≈25.

Tự kiểm: 25 thuộc nhóm [20;30), đúng nhóm chứa vị trí thứ 15.

Ví dụ 4

Các nhóm [0;5), [5;10), [10;15) có tần số 6, 14, 10. Ước lượng mốt.

1. 1 Nhóm mốt là [5;10), nên L=5, h=5, fₘ=14.
2. 2 Tính chênh lệch trái 14−6=8 và chênh lệch phải 14−10=4.
3. 3 Thế Mo=5+[8/(8+4)]·5.

Đáp án: Mo≈8,33.

Tự kiểm: 8,33 nằm trong nhóm mốt [5;10) và gần phía nhóm kề có tần số 10 hơn.

Ví dụ 5

Các nhóm [0;10), [10;20), [20;30) có tần số 6, 3, 1. Ước lượng số trung bình và trung vị rồi so sánh.

1. 1 Trung điểm nhóm là 5,15,25 nên x̄≈(6·5+3·15+1·25)/10=10.
2. 2 Vị trí trung vị là 5; nhóm trung vị [0;10) có L=0,F=0,f=6,h=10.
3. 3 Nội suy Me≈0+(5/6)·10≈8,33; so sánh x̄>Me.

Đáp án: x̄≈10 và Me≈8,33; nhóm giá trị cao kéo số trung bình lên mạnh hơn trung vị.

Tự kiểm: Cả hai giá trị nằm trong miền [0;30), và trung vị nằm đúng nhóm có tần số tích lũy đầu tiên đạt 5.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Dùng đầu mút trái thay cho trung điểm khi tính số trung bình.
• Sai lầm cần tránh: Chọn nhóm trung vị bằng cách nhìn tần số lớn nhất thay vì tần số tích lũy.
• Sai lầm cần tránh: Quên trừ tần số tích lũy F trước nhóm khi nội suy.
• Sai lầm cần tránh: Kết luận trung vị ghép nhóm là một giá trị chính xác của dữ liệu gốc.
• Sai lầm cần tránh: Dùng công thức mốt với các nhóm không đều mà không điều chỉnh hoặc giải thích.
• Sai lầm cần tránh: Không tính phương sai ghép nhóm vì nội dung này chưa thuộc phạm vi bài.