Toán lớp 11: Bài 10: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Mục tiêu bài học

• Nhận biết được quan hệ điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian.
• Vận dụng được ba cách xác định một mặt phẳng.
• Tìm được giao điểm đường thẳng-mặt phẳng và giao tuyến hai mặt phẳng trong hình đơn giản.
• Mô tả được các yếu tố của hình chóp và tứ diện.

Kiến thức cần nhớ

• Các đối tượng cơ bản của hình học không gian là điểm, đường thẳng và mặt phẳng. Hình biểu diễn chỉ hỗ trợ quan sát; mọi kết luận phải dựa trên quan hệ đã cho hoặc đã chứng minh.
• Một mặt phẳng được xác định duy nhất bởi ba điểm không thẳng hàng; bởi một đường thẳng và một điểm ngoài đường; hoặc bởi hai đường thẳng cắt nhau.
• Đường thẳng nằm trong mặt phẳng khi mọi điểm của nó thuộc mặt phẳng. Chỉ cần chứng minh hai điểm phân biệt của đường cùng thuộc mặt phẳng để kết luận đường nằm trong mặt.
• Một đường thẳng và một mặt phẳng có thể không có điểm chung, có đúng một điểm chung hoặc đường thẳng nằm hoàn toàn trong mặt phẳng. Trường hợp đúng một điểm gọi là giao điểm.
• Nếu hai mặt phẳng phân biệt có một điểm chung thì giao của chúng là một đường thẳng đi qua điểm đó. Để xác định giao tuyến, thường tìm hai điểm chung phân biệt.
• Hình chóp S.A₁A₂…Aₙ có đáy là đa giác A₁A₂…Aₙ và các mặt bên là tam giác có chung đỉnh S. Kí hiệu đúng giúp xác định cạnh, mặt và quan hệ thuộc.

Khởi động và dự đoán

• Trong một hình chóp, nét vẽ hai đường cắt nhau trên giấy có đủ để kết luận chúng cắt nhau trong không gian không?

Thuật ngữ và kí hiệu

mặt phẳng điểm thuộc mặt phẳng đường thẳng nằm trong mặt phẳng giao điểm giao tuyến hình chóp hình tứ diện

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
(ABC)	A, B, C là ba điểm không thẳng hàng	Mặt phẳng duy nhất đi qua ba điểm.
(d,A)	A không thuộc đường thẳng d	Mặt phẳng duy nhất chứa d và điểm A.
(d₁,d₂)	d₁ và d₂ là hai đường thẳng cắt nhau	Mặt phẳng duy nhất chứa hai đường.
d⊂(P)	Có hai điểm phân biệt A,B thuộc d và đồng thời thuộc (P)	Tiêu chuẩn thực hành để chứng minh đường nằm trong mặt.
(P)∩(Q)=d	(P),(Q) phân biệt và có hai điểm chung phân biệt nằm trên d	Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra tiền đề: Quan hệ điểm-đường trong mặt phẳng. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.
• Tự kiểm tra tiền đề: Hình đa diện ở mức trực quan. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì phải thử lại.
• Với hình không gian, viện dẫn quan hệ liên thuộc và đủ giả thiết của định lí; không suy từ hình vẽ.
• Kiểm trường hợp biên, đơn vị và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• Có vô số mặt phẳng cùng đi qua một đường thẳng; cần thêm điểm ngoài đường hoặc một đường cắt nó để xác định duy nhất.
• Hai mặt phẳng trùng nhau có vô số điểm chung nên không nói giao tuyến theo nghĩa hai mặt phẳng phân biệt.
• Một đường thẳng có hai điểm thuộc mặt phẳng thì toàn bộ đường nằm trong mặt phẳng, không thể chỉ cắt mặt tại hai điểm.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Hai nét AB và CD giao nhau trên hình vẽ nhưng nếu AB và CD thuộc hai mặt không đồng phẳng, chúng có thể là hai đường chéo nhau.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Đọc bản vẽ khối nhà, khung giàn hoặc mô hình đa diện; xác định đúng mặt cắt và các giao tuyến trước khi tính toán.

Minh họa trực quan

Mô hình không gian — Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

Đọc quan hệ thuộc/không thuộc từ kí hiệu, không suy chỉ bằng hình nhìn.

S A B C (ABC)

A,B,C∈(ABC)

S∉(ABC)

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Trong tứ diện ABCD, xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (ABC) và (ABD).

1. 1 A thuộc cả hai mặt phẳng.
2. 2 B cũng thuộc cả hai mặt phẳng và A≠B.
3. 3 Đường thẳng qua hai điểm chung A,B là AB.

Đáp án: (ABC)∩(ABD)=AB.

Tự kiểm: AB là cạnh chung của hai mặt tam giác và hai mặt phẳng phân biệt.

Ví dụ 2

Cho điểm M thuộc cạnh SC của hình chóp S.ABCD. Chứng minh BM nằm trong mặt phẳng (SBC).

1. 1 B là điểm xác định mặt phẳng (SBC) nên B∈(SBC).
2. 2 M∈SC và SC⊂(SBC), nên M∈(SBC).
3. 3 Đường BM có hai điểm phân biệt B,M thuộc (SBC).

Đáp án: BM⊂(SBC).

Tự kiểm: Tiêu chuẩn hai điểm phân biệt của đường cùng thuộc mặt phẳng đã được thỏa mãn.

Ví dụ 3

Trong hình chóp S.ABCD có O=AC∩BD. Tìm giao điểm của SO với mặt phẳng đáy (ABCD).

1. 1 O thuộc AC nên O thuộc mặt phẳng đáy.
2. 2 S không thuộc mặt phẳng đáy, còn đường SO đi qua O.
3. 3 SO chỉ có một giao điểm với mặt phẳng đáy là O.

Đáp án: SO∩(ABCD)=O.

Tự kiểm: Nếu SO có thêm một điểm của đáy thì SO sẽ nằm trong đáy, kéo theo S thuộc đáy, trái giả thiết hình chóp.

Ví dụ 4

Trong tứ diện ABCD, M,N lần lượt là các điểm trong của AB, AC và MN không song song BC. Tìm giao tuyến của (DMN) và (DBC).

1. 1 D là điểm chung thứ nhất của hai mặt phẳng.
2. 2 Trong mặt phẳng (ABC), gọi I=MN∩BC; hai đường phân biệt, đồng phẳng và không song song nên I tồn tại.
3. 3 I thuộc MN⊂(DMN) và BC⊂(DBC), nên DI là đường qua hai điểm chung.

Đáp án: (DMN)∩(DBC)=DI.

Tự kiểm: D và I phân biệt, cùng thuộc cả hai mặt phẳng, nên xác định duy nhất giao tuyến.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Kết luận hai đường cắt nhau chỉ vì nét biểu diễn giao nhau.
• Sai lầm cần tránh: Dùng ba điểm thẳng hàng để xác định một mặt phẳng duy nhất.
• Sai lầm cần tránh: Tìm một điểm chung rồi cho rằng đã xác định được giao tuyến của hai mặt phẳng.
• Sai lầm cần tránh: Nhầm d∩(P)=A với d⊂(P).
• Sai lầm cần tránh: Gọi một đoạn bị che khuất là không tồn tại thay vì biểu diễn bằng nét đứt.