Toán lớp 11: Bài 11: Hai đường thẳng song song

Mục tiêu bài học

• Phân biệt được hai đường cắt nhau, song song, trùng nhau và chéo nhau.
• Vận dụng được điều kiện và tính chất của hai đường thẳng song song trong không gian.
• Tìm được đường thẳng qua một điểm song song với đường cho trước trong mặt phẳng xác định.
• Trình bày được chứng minh không dựa vào vẻ ngoài của hình phối cảnh.

Kiến thức cần nhớ

• Hai đường thẳng trong không gian song song khi chúng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung. Điều kiện đồng phẳng là bắt buộc.
• Hai đường thẳng không đồng phẳng được gọi là chéo nhau, không phải song song, dù trên hình biểu diễn chúng có thể có cùng hướng.
• Nếu hai đường thẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau; tính chất này giúp chuyển hướng song song qua cạnh trung gian.
• Để tìm giao tuyến qua một điểm đã biết, có thể xác định phương của giao tuyến bằng một đường thẳng song song nằm trong mỗi mặt phẳng. Lập luận phải nêu rõ các quan hệ chứa.
• Muốn chứng minh tứ giác là hình bình hành trong không gian, trước hết phải bảo đảm bốn điểm đồng phẳng, rồi chứng minh một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau hoặc hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm.
• Trong lăng trụ, các cạnh bên song song; các đáy là hai đa giác có các cạnh tương ứng song song. Đây là dữ kiện cấu tạo, không phải kết luận từ cảm giác trên hình.

Khởi động và dự đoán

• Hai cạnh đối của một hình hộp có thể không cùng nằm trên một mặt nhìn thấy; ta dựa vào đâu để chứng minh chúng song song?

Thuật ngữ và kí hiệu

hai đường thẳng song song hai đường thẳng chéo nhau đồng phẳng phương của đường thẳng hình bình hành lăng trụ

Công thức, điều kiện và ý nghĩa

Biểu thức	Điều kiện	Ý nghĩa
a∥b	a,b đồng phẳng, phân biệt và a∩b=∅	Định nghĩa hai đường thẳng song song trong không gian.
a∥c và b∥c ⇒ a∥b	a,b là hai đường thẳng phân biệt	Tính bắc cầu về phương song song.
AB∥CD và AB=CD ⇒ ABCD là hình bình hành	A,B,C,D đồng phẳng và các đoạn là hai cạnh đối	Tiêu chuẩn nhận biết hình bình hành.
AA′∥BB′∥CC′	ABC.A′B′C′ là một lăng trụ	Các cạnh bên của lăng trụ cùng phương.

Tự kiểm tra kiến thức nền

• Tự kiểm tra tiền đề: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.
• Tự kiểm tra tiền đề: Hai đường thẳng song song trong mặt phẳng. Hãy nêu định nghĩa hoặc làm một ví dụ ngắn.

Khung lập luận và chứng minh

• Ghi rõ giả thiết, kết luận, miền của biến và điều kiện của mọi biểu thức.
• Mỗi biến đổi phải là tương đương; nếu chỉ là hệ quả thì phải thử lại.
• Với hình không gian, viện dẫn quan hệ liên thuộc và đủ giả thiết của định lí; không suy từ hình vẽ.
• Kiểm trường hợp biên, đơn vị và thử một phản ví dụ cho kết luận mạnh hơn.

Trường hợp biên cần nhớ

• Hai đường trùng nhau không được gọi là hai đường thẳng song song phân biệt theo định nghĩa đang dùng.
• Hai đường chéo nhau không có mặt phẳng nào chứa đồng thời cả hai.
• Hai đường cùng song song với đường thứ ba tự động đồng phẳng với nhau theo định lí, dù mặt phẳng ấy chưa được chỉ ra từ đầu.

Phản ví dụ chống học máy móc

• Trong tứ diện ABCD, AB và CD không có điểm chung nhưng không song song vì chúng không đồng phẳng; đây là cặp đường chéo nhau.

Ứng dụng và mô hình thực tế

• Phân tích các thanh dầm của khung không gian, các cạnh của lăng trụ và hướng giao tuyến trong mô hình kiến trúc.

Minh họa trực quan

Mô hình không gian — Hai đường thẳng song song

Hai đường song song phải đồng phẳng và không có điểm chung.

a b (P)

a∥b

a,b⊂(P)

Ví dụ giải từng bước

Ví dụ 1

Trong lăng trụ ABC.A′B′C′, chứng minh AA′∥CC′.

1. 1 Theo định nghĩa lăng trụ, các cạnh bên AA′, BB′, CC′ cùng phương.
2. 2 AA′ và CC′ là hai đường phân biệt.
3. 3 Hai đường phân biệt cùng song song với BB′ nên song song nhau.

Đáp án: AA′∥CC′.

Tự kiểm: Hai cạnh cùng nằm trong mặt bên ACC′A′, xác nhận thêm điều kiện đồng phẳng.

Ví dụ 2

Trong tứ diện ABCD, M và N lần lượt là trung điểm AB, AC. Chứng minh MN∥BC.

1. 1 M,N,B,C cùng thuộc mặt phẳng (ABC).
2. 2 Trong tam giác ABC, MN nối trung điểm của AB và AC.
3. 3 Áp dụng định lí đường trung bình của tam giác.

Đáp án: MN∥BC.

Tự kiểm: MN và BC đồng phẳng, đồng thời MN=BC/2 nên không trùng và không cắt.

Ví dụ 3

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Chứng minh CD∥EF.

1. 1 Từ ABCD là hình bình hành, CD∥AB.
2. 2 Từ ABEF là hình bình hành, EF∥AB.
3. 3 CD và EF phân biệt, cùng song song với AB.

Đáp án: CD∥EF.

Tự kiểm: Định lí hai đường phân biệt cùng song song đường thứ ba bảo đảm cả quan hệ song song và đồng phẳng.

Ví dụ 4

Trong tứ diện ABCD, M,N,P,Q lần lượt là trung điểm AB, BC, CD, DA. Chứng minh MNPQ là hình bình hành.

1. 1 Trong tam giác ABC, MN∥AC; trong tam giác ADC, PQ∥AC, nên MN∥PQ.
2. 2 Trong tam giác BCD, NP∥BD; trong tam giác BAD, MQ∥BD, nên NP∥MQ.
3. 3 Hai cặp cạnh đối của MNPQ song song nên bốn điểm đồng phẳng và tứ giác là hình bình hành.

Đáp án: MNPQ là hình bình hành.

Tự kiểm: Ngoài ra MN=PQ=AC/2 và NP=MQ=BD/2, phù hợp tính chất hình bình hành.

Lỗi sai thường gặp

• Sai lầm cần tránh: Thấy hai đường không cắt nhau rồi kết luận chúng song song, bỏ qua khả năng chéo nhau.
• Sai lầm cần tránh: Kết luận song song chỉ từ hình vẽ hoặc vì hai đoạn có vẻ cùng hướng.
• Sai lầm cần tránh: Dùng tính bắc cầu khi một trong hai quan hệ là vuông góc thay vì song song.
• Sai lầm cần tránh: Chứng minh một cặp cạnh đối song song rồi kết luận tứ giác không gian là hình bình hành mà chưa có đồng phẳng.
• Sai lầm cần tránh: Nhầm hai cạnh đối diện của tứ diện là song song; chúng thường chéo nhau.